ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 13 - 23

### а) $$ \operatorname{tg}^2 x + \operatorname{ctg}^2 x = 2 \sin^2 \sqrt{\frac{5\pi^2}{16} - x^2} $$ 1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ) уравнения: - $\operatorname{tg} x$ определён при $\cos x \ne 0$, то есть $x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k, \; k \in \mathbb{Z}$; - $\operatorname{ctg} x$ определён при $\sin x \ne 0$, то есть $x \ne \pi k, \; k \in \mathbb{Z}$; - подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $$ \frac{5\pi^2}{16} - x^2 \ge 0 \iff x^2 \le \frac{5\pi^2}{16} \iff -\frac{\sqrt{5}\pi}{4} \le x \le \frac{\sqrt{5}\pi}{4} $$ 2. Оценим левую часть уравнения. На ОДЗ $\operatorname{tg}^2 x > 0$ и $\operatorname{ctg}^2 x = \frac{1}{\operatorname{tg}^2 x} > 0$. По неравенству о сумме двух взаимно обратных положительных чисел ($a + \frac{1}{a} \ge 2$ при $a > 0$): $$ \operatorname{tg}^2 x + \operatorname{ctg}^2 x \ge 2 $$ Равенство достигается тогда и только тогда, когда $\operatorname{tg}^2 x = \operatorname{ctg}^2 x = 1$. 3. Оценим правую часть уравнения. Так как для любого действительного аргумента $\sin^2 \alpha \le 1$, получаем: $$ 2 \sin^2 \sqrt{\frac{5\pi^2}{16} - x^2} \le 2 $$ Равенство достигается в том случае, когда $\sin^2 \sqrt{\frac{5\pi^2}{16} - x^2} = 1$. 4. Левая часть не меньше $2$, а правая часть не больше $2$. Следовательно, равенство возможно тогда и только тогда, когда обе части одновременно равны $2$: $$ \begin{cases} \operatorname{tg}^2 x = 1 \\ \sin^2 \sqrt{\frac{5\pi^2}{16} - x^2} = 1 \end{cases} $$ Решим второе уравнение системы: $$ \sqrt{\frac{5\pi^2}{16} - x^2} = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Так как арифметический корень неотрицателен и $0 \le \sqrt{\frac{5\pi^2}{16} - x^2} \le \frac{\sqrt{5}\pi}{4} \approx 0{,}559\pi < \frac{3\pi}{2}$, то из всех значений $\frac{\pi}{2} + \pi n$ подходит только случай при $n = 0$: $$ \sqrt{\frac{5\pi^2}{16} - x^2} = \frac{\pi}{2} $$ Возведем обе части в квадрат: $$ \frac{5\pi^2}{16} - x^2 = \frac{\pi^2}{4} $$ $$ x^2 = \frac{5\pi^2}{16} - \frac{4\pi^2}{16} = \frac{\pi^2}{16} $$ $$ x = \pm \frac{\pi}{4} $$ Проверим выполнение первого уравнения системы: $\operatorname{tg}^2\left(\pm \frac{\pi}{4}\right) = (\pm 1)^2 = 1$ — равенство верно. Оба значения $x = \pm \frac{\pi}{4}$ входят в ОДЗ. Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{4}$. --- ### б) $$ \frac{\cos^2 2x}{\sin^8 x} + \frac{\sin^8 x}{\cos^2 2x} = 2 \cos^2 \sqrt{\frac{\pi^2}{4} - x^2} $$ 1. Найдем ОДЗ уравнения: - знаменатели дробей не равны нулю: $\sin x \ne 0$ и $\cos 2x \ne 0$; - подкоренное выражение неотрицательно: $$ \frac{\pi^2}{4} - x^2 \ge 0 \iff x^2 \le \frac{\pi^2}{4} \iff -\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2} $$ 2. Оценим левую часть уравнения. Так как слагаемые строго положительны и взаимно обратны на ОДЗ, то по неравенству Коши: $$ \frac{\cos^2 2x}{\sin^8 x} + \frac{\sin^8 x}{\cos^2 2x} \ge 2 $$ Равенство достигается тогда и только тогда, когда слагаемые равны, то есть: $$ \frac{\cos^2 2x}{\sin^8 x} = 1 \iff \cos^2 2x = \sin^8 x $$ 3. Оценим правую часть уравнения. Поскольку $\cos^2 \alpha \le 1$ для любого действительного $\alpha$: $$ 2 \cos^2 \sqrt{\frac{\pi^2}{4} - x^2} \le 2 $$ Равенство возможно только при $\cos^2 \sqrt{\frac{\pi^2}{4} - x^2} = 1$. 4. Уравнение равносильно системе: $$ \begin{cases} \cos^2 2x = \sin^8 x \\ \cos^2 \sqrt{\frac{\pi^2}{4} - x^2} = 1 \end{cases} $$ Из второго уравнения системы: $$ \sqrt{\frac{\pi^2}{4} - x^2} = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Учитывая, что $0 \le \sqrt{\frac{\pi^2}{4} - x^2} \le \frac{\pi}{2} < \pi$, получаем единственно возможное значение $n = 0$: $$ \sqrt{\frac{\pi^2}{4} - x^2} = 0 $$ $$ x^2 = \frac{\pi^2}{4} \iff x = \pm \frac{\pi}{2} $$ Проверим первое уравнение системы и ограничения ОДЗ при $x = \pm \frac{\pi}{2}$: - $\sin\left(\pm \frac{\pi}{2}\right) = \pm 1 \ne 0 \implies \sin^8\left(\pm \frac{\pi}{2}\right) = 1$; - $\cos\left(2 \cdot \left(\pm \frac{\pi}{2}\right)\right) = \cos(\pm \pi) = -1 \ne 0 \implies \cos^2(\pm \pi) = 1$; - равенство $\cos^2 2x = \sin^8 x$ обращается в тождество $1 = 1$. Значения $x = \pm \frac{\pi}{2}$ удовлетворяют всем условиям. Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{2}$.