ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 11 - 60

**а)** Решим неравенство: $$ \sqrt{27}\cdot3^{-6x^2}\geq 9^{4x} $$ Приведем обе части неравенства к основанию $3$: $\sqrt{27} = \sqrt{3^3} = 3^{\frac{3}{2}} = 3^{1{,}5}$; $9^{4x} = (3^2)^{4x} = 3^{8x}$. Перепишем неравенство: $$ 3^{1{,}5}\cdot 3^{-6x^2} \geq 3^{8x} $$ $$ 3^{1{,}5 - 6x^2} \geq 3^{8x} $$ Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция возрастает, и знак неравенства для показателей сохраняется: $$ 1{,}5 - 6x^2 \geq 8x $$ $$ 6x^2 + 8x - 1{,}5 \leq 0 $$ Умножим обе части неравенства на $2$: $$ 12x^2 + 16x - 3 \leq 0 $$ Найдем корни квадратного трехчлена $12x^2 + 16x - 3 = 0$: $$ \frac{D}{4} = 8^2 - 12 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100 = 10^2 $$ $$ x_1 = \frac{-8 - 10}{12} = -\frac{18}{12} = -\frac{3}{2} = -1{,}5 $$ $$ x_2 = \frac{-8 + 10}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} $$ Решением квадратного неравенства со знаком $\leq$ является отрезок между корнями: $$ x \in \left[-\frac{3}{2}; \frac{1}{6}\right] $$ Ответ: $\left[-\frac{3}{2}; \frac{1}{6}\right]$. --- **б)** Решим неравенство: $$ \sqrt{32}\cdot2^{-4x^2}\geq 8^{3x} $$ Приведем обе части неравенства к основанию $2$: $\sqrt{32} = \sqrt{2^5} = 2^{\frac{5}{2}} = 2^{2{,}5}$; $8^{3x} = (2^3)^{3x} = 2^{9x}$. Перепишем неравенство: $$ 2^{2{,}5}\cdot 2^{-4x^2} \geq 2^{9x} $$ $$ 2^{2{,}5 - 4x^2} \geq 2^{9x} $$ Так как основание $2 > 1$, переходим к показателям с сохранением знака неравенства: $$ 2{,}5 - 4x^2 \geq 9x $$ $$ 4x^2 + 9x - 2{,}5 \leq 0 $$ Умножим обе части неравенства на $2$: $$ 8x^2 + 18x - 5 \leq 0 $$ Найдем корни квадратного уравнения $8x^2 + 18x - 5 = 0$: $$ \frac{D}{4} = 9^2 - 8 \cdot (-5) = 81 + 40 = 121 = 11^2 $$ $$ x_1 = \frac{-9 - 11}{8} = -\frac{20}{8} = -\frac{5}{2} = -2{,}5 $$ $$ x_2 = \frac{-9 + 11}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} = 0{,}25 $$ Решением неравенства является отрезок: $$ x \in \left[-\frac{5}{2}; \frac{1}{4}\right] $$ Ответ: $\left[-\frac{5}{2}; \frac{1}{4}\right]$. --- **в)** Решим неравенство: $$ 4\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{5x^2}\leq\left(\frac{1}{8}\right)^{-3x} $$ Приведем все степени к основанию $2$: $4 = 2^2$; $\left(\frac{1}{2}\right)^{5x^2} = (2^{-1})^{5x^2} = 2^{-5x^2}$; $\left(\frac{1}{8}\right)^{-3x} = (2^{-3})^{-3x} = 2^{9x}$. Подставим полученные выражения в неравенство: $$ 2^2 \cdot 2^{-5x^2} \leq 2^{9x} $$ $$ 2^{2 - 5x^2} \leq 2^{9x} $$ Так как основание $2 > 1$, знак неравенства сохраняется: $$ 2 - 5x^2 \leq 9x $$ $$ 5x^2 + 9x - 2 \geq 0 $$ Найдем корни квадратного трехчлена $5x^2 + 9x - 2 = 0$: $$ D = 9^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 81 + 40 = 121 = 11^2 $$ $$ x_1 = \frac{-9 - 11}{2 \cdot 5} = \frac{-20}{10} = -2 $$ $$ x_2 = \frac{-9 + 11}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} = 0{,}2 $$ Так как трехчлен должен быть неотрицательным ($\geq 0$), решением будет объединение двух промежутков: $$ x \in (-\infty; -2] \cup \left[\frac{1}{5}; +\infty\right) $$ Ответ: $(-\infty; -2] \cup \left[\frac{1}{5}; +\infty\right)$. --- **г)** Решим неравенство: $$ 125\cdot\left(\frac{1}{5}\right)^{x^2}\leq\left(\frac{1}{25}\right)^{-4x} $$ Приведем все степени к основанию $5$: $125 = 5^3$; $\left(\frac{1}{5}\right)^{x^2} = (5^{-1})^{x^2} = 5^{-x^2}$; $\left(\frac{1}{25}\right)^{-4x} = (5^{-2})^{-4x} = 5^{8x}$. Подставим преобразованные степени в неравенство: $$ 5^3 \cdot 5^{-x^2} \leq 5^{8x} $$ $$ 5^{3 - x^2} \leq 5^{8x} $$ Поскольку основание $5 > 1$, знак неравенства сохраняется: $$ 3 - x^2 \leq 8x $$ $$ x^2 + 8x - 3 \geq 0 $$ Найдем корни уравнения $x^2 + 8x - 3 = 0$: $$ \frac{D}{4} = 4^2 - 1 \cdot (-3) = 16 + 3 = 19 $$ $$ x_1 = -4 - \sqrt{19} $$ $$ x_2 = -4 + \sqrt{19} $$ Решением квадратного неравенства со знаком $\geq$ является внешняя область корней: $$ x \in (-\infty; -4 - \sqrt{19}] \cup [-4 + \sqrt{19}; +\infty) $$ Ответ: $(-\infty; -4 - \sqrt{19}] \cup [-4 + \sqrt{19}; +\infty)$.