ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 11 - 58

### а) Решите неравенство: $$ \frac{(2x+3)\sqrt{x-2}}{x-6{,}6} \geqslant \frac{5\sqrt{x-2}}{x-5} $$ 1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ): Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатели не должны равняться нулю: $$ \begin{cases} x - 2 \geqslant 0, \\ x - 6{,}6 \neq 0, \\ x - 5 \neq 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \geqslant 2, \\ x \neq 5, \\ x \neq 6{,}6. \end{cases} $$ ОДЗ: $x \in [2; 5) \cup (5; 6{,}6) \cup (6{,}6; +\infty)$. 2. Рассмотрим значение $x = 2$: При $x = 2$ получаем $\sqrt{2 - 2} = 0$, неравенство принимает вид $0 \geqslant 0$, что является верным числовым равенством. Значит, $x = 2$ — решение неравенства. 3. При $x > 2$ ($x \neq 5$, $x \neq 6{,}6$) значение $\sqrt{x-2} > 0$. Разделим обе части неравенства на $\sqrt{x-2}$: $$ \frac{2x+3}{x-6{,}6} \geqslant \frac{5}{x-5} $$ Перенесём слагаемое из правой части в левую и приведём дроби к общему знаменателю: $$ \frac{2x+3}{x-6{,}6} - \frac{5}{x-5} \geqslant 0 $$ $$ \frac{(2x+3)(x-5) - 5(x-6{,}6)}{(x-6{,}6)(x-5)} \geqslant 0 $$ Раскроем скобки в числителе: $$ (2x^2 - 10x + 3x - 15) - (5x - 33) = 2x^2 - 12x + 18 = 2(x^2 - 6x + 9) = 2(x-3)^2 $$ Неравенство принимает вид: $$ \frac{2(x-3)^2}{(x-6{,}6)(x-5)} \geqslant 0 $$ Так как $(x-3)^2 \geqslant 0$ при всех $x$: - При $x = 3$ числитель равен нулю, знаменатель равен $(3-6{,}6)(3-5) = (-3{,}6) \cdot (-2) = 7{,}2 > 0$, поэтому $x = 3$ является решением. - При $x \neq 3$ выражение $(x-3)^2 > 0$, тогда неравенство равносильно: $$ (x-5)(x-6{,}6) > 0 \iff x \in (-\infty; 5) \cup (6{,}6; +\infty) $$ 4. Учитывая условие $x > 2$, получаем интервалы $(2; 5) \cup (6{,}6; +\infty)$ (точка $x = 3$ входит в интервал $(2; 5)$). Объединяя с решением $x = 2$, получаем: $x \in [2; 5) \cup (6{,}6; +\infty)$. **Ответ:** $x \in [2; 5) \cup (6{,}6; +\infty)$ --- ### б) Решите неравенство: $$ \frac{3x+1}{(2x+1)\sqrt{2-x}} \leqslant \frac{1}{(x+1)\sqrt{2-x}} $$ 1. Найдём ОДЗ: Так как корень стоит в знаменателе, подкоренное выражение должно быть строго положительным: $$ \begin{cases} 2 - x > 0, \\ 2x + 1 \neq 0, \\ x + 1 \neq 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x < 2, \\ x \neq -0{,}5, \\ x \neq -1. \end{cases} $$ ОДЗ: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; -0{,}5) \cup (-0{,}5; 2)$. 2. Так как $\sqrt{2-x} > 0$ на всей ОДЗ, умножим обе части неравенства на $\sqrt{2-x}$: $$ \frac{3x+1}{2x+1} \leqslant \frac{1}{x+1} $$ Перенесём дробь влево и приведём к общему знаменателю: $$ \frac{3x+1}{2x+1} - \frac{1}{x+1} \leqslant 0 $$ $$ \frac{(3x+1)(x+1) - (2x+1)}{(2x+1)(x+1)} \leqslant 0 $$ Упростим числитель: $$ (3x^2 + 4x + 1) - (2x + 1) = 3x^2 + 2x = x(3x+2) $$ Получаем неравенство: $$ \frac{x(3x+2)}{(2x+1)(x+1)} \leqslant 0 $$ 3. Решим полученное неравенство методом интервалов: Нули числителя: $x = 0$, $x = -\frac{2}{3}$ (закрашенные точки). Нули знаменателя: $x = -1$, $x = -0{,}5$ (выколотые точки). Нанесём эти точки на числовую прямую: $-1$; $-\frac{2}{3}$; $-0{,}5$; $0$. Определим знаки выражения $\frac{x(3x+2)}{(2x+1)(x+1)}$ на интервалах: - при $x \in (0; +\infty)$ — знак «$+$»; - при $x \in (-0{,}5; 0)$ — знак «$-$»; - при $x \in \left(-\frac{2}{3}; -0{,}5\right)$ — знак «$+$»; - при $x \in \left(-1; -\frac{2}{3}\right)$ — знак «$-$»; - при $x \in (-\infty; -1)$ — знак «$+$». Следовательно, выражение неположительно при: $$ x \in \left(-1; -\frac{2}{3}\right] \cup (-0{,}5; 0] $$ Все найденные значения удовлетворяют ОДЗ ($x < 2$). **Ответ:** $x \in \left(-1; -\frac{2}{3}\right] \cup (-0{,}5; 0]$ --- ### в) Решите неравенство: $$ \frac{(2x-7)\sqrt{x-1}}{x-3} \geqslant \frac{9\sqrt{x-1}}{5-x} $$ 1. Найдём ОДЗ: $$ \begin{cases} x - 1 \geqslant 0, \\ x - 3 \neq 0, \\ 5 - x \neq 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \geqslant 1, \\ x \neq 3, \\ x \neq 5. \end{cases} $$ ОДЗ: $x \in [1; 3) \cup (3; 5) \cup (5; +\infty)$. 2. Рассмотрим значение $x = 1$: При $x = 1$ значение $\sqrt{1 - 1} = 0$, неравенство принимает вид $0 \geqslant 0$, что верно. Значит, $x = 1$ — решение неравенства. 3. При $x > 1$ ($x \neq 3$, $x \neq 5$) значение $\sqrt{x-1} > 0$. Разделим обе части на $\sqrt{x-1}$: $$ \frac{2x-7}{x-3} \geqslant \frac{9}{5-x} $$ Учитывая, что $\frac{9}{5-x} = -\frac{9}{x-5}$, перенесём слагаемое влево: $$ \frac{2x-7}{x-3} + \frac{9}{x-5} \geqslant 0 $$ Приведём к общему знаменателю: $$ \frac{(2x-7)(x-5) + 9(x-3)}{(x-3)(x-5)} \geqslant 0 $$ Преобразуем числитель: $$ (2x^2 - 10x - 7x + 35) + (9x - 27) = 2x^2 - 8x + 8 = 2(x^2 - 4x + 4) = 2(x-2)^2 $$ Неравенство принимает вид: $$ \frac{2(x-2)^2}{(x-3)(x-5)} \geqslant 0 $$ - При $x = 2$ числитель равен нулю, знаменатель равен $(2-3)(2-5) = 3 > 0$, условие выполняется, то есть $x = 2$ — решение. - При $x \neq 2$ выражение $(x-2)^2 > 0$, поэтому: $$ (x-3)(x-5) > 0 \iff x \in (-\infty; 3) \cup (5; +\infty) $$ 4. С учётом условия $x > 1$ получаем интервалы $(1; 3) \cup (5; +\infty)$ (точка $x = 2$ содержится в интервале $(1; 3)$). Добавляя решение $x = 1$, получаем: $x \in [1; 3) \cup (5; +\infty)$. **Ответ:** $x \in [1; 3) \cup (5; +\infty)$ --- ### г) Решите неравенство: $$ \frac{1}{(x+1)\sqrt{9-x}} \leqslant \frac{4-x}{(8-x)\sqrt{9-x}} $$ 1. Найдём ОДЗ: $$ \begin{cases} 9 - x > 0, \\ x + 1 \neq 0, \\ 8 - x \neq 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x < 9, \\ x \neq -1, \\ x \neq 8. \end{cases} $$ ОДЗ: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 8) \cup (8; 9)$. 2. Так как $\sqrt{9-x} > 0$ на ОДЗ, умножим обе части неравенства на $\sqrt{9-x}$: $$ \frac{1}{x+1} \leqslant \frac{4-x}{8-x} $$ Перенесём дробь в левую часть: $$ \frac{1}{x+1} - \frac{4-x}{8-x} \leqslant 0 $$ Приведём к общему знаменателю: $$ \frac{8 - x - (4 - x)(x + 1)}{(x+1)(8-x)} \leqslant 0 $$ Преобразуем числитель: $$ 8 - x - (4x + 4 - x^2 - x) = 8 - x - (-x^2 + 3x + 4) = x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2 $$ Неравенство принимает вид: $$ \frac{(x-2)^2}{(x+1)(8-x)} \leqslant 0 $$ Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства и заменив в знаменателе $(8-x)$ на $(x-8)$: $$ \frac{(x-2)^2}{(x+1)(x-8)} \geqslant 0 $$ 3. Решим неравенство: - При $x = 2$ числитель равен нулю, знаменатель равен $(2+1)(2-8) = -18 \neq 0$. Дробь равна нулю, значит, $x = 2$ — решение неравенства. - При $x \neq 2$ множитель $(x-2)^2 > 0$, следовательно: $$ \frac{1}{(x+1)(x-8)} > 0 \iff (x+1)(x-8) > 0 \iff x \in (-\infty; -1) \cup (8; +\infty) $$ 4. Найдём пересечение полученного решения с ОДЗ: $$ \begin{cases} x \in (-\infty; -1) \cup \{2\} \cup (8; +\infty), \\ x < 9, \\ x \neq -1, \\ x \neq 8 \end{cases} \iff x \in (-\infty; -1) \cup \{2\} \cup (8; 9). $$ **Ответ:** $x \in (-\infty; -1) \cup \{2\} \cup (8; 9)$