ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 11 - 4

К основным преобразованиям неравенств, приводящим данное неравенство к равносильному ему на некотором множестве $X$, относятся следующие: 1. **Прибавление к обеим частям неравенства функции (или числа)** Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число или одну и ту же функцию $h(x)$, определенную на множестве $X$, то получится неравенство, равносильное данному на множестве $X$: $$f(x) > g(x) \iff f(x) + h(x) > g(x) + h(x)$$ *Следствие (перенос слагаемых):* любое слагаемое можно перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком. 2. **Умножение или деление обеих частей неравенства на положительное выражение** Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же число или выражение $h(x)$, определенное и строго положительное при всех $x \in X$ ($h(x) > 0$), сохраняя знак неравенства, то получится неравенство, равносильное данному на множестве $X$: $$f(x) > g(x) \iff f(x)\cdot h(x) > g(x)\cdot h(x)$$ 3. **Умножение или деление обеих частей неравенства на отрицательное выражение** Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же число или выражение $h(x)$, определенное и строго отрицательное при всех $x \in X$ ($h(x) < 0$), и при этом изменить знак неравенства на противоположный, то получится неравенство, равносильное данному на множестве $X$: $$f(x) > g(x) \iff f(x)\cdot h(x) < g(x)\cdot h(x)$$ 4. **Возведение обеих частей неравенства в степень** - Возведение в одну и ту же **нечётную** натуральную степень $2k + 1$ ($k \in \mathbb{N}$) сохраняет знак неравенства и приводит к равносильному неравенству на множестве $X$: $$f(x) > g(x) \iff (f(x))^{2k+1} > (g(x))^{2k+1}$$ - Возведение в одну и ту же **чётную** натуральную степень $2k$ ($k \in \mathbb{N}$) приводит к равносильному неравенству на множестве $X$, если обе части неравенства неотрицательны на этом множестве ($f(x) \geqslant 0$ и $g(x) \geqslant 0$): $$f(x) > g(x) \iff (f(x))^{2k} > (g(x))^{2k}$$ 5. **Применение монотонной функции к обеим частям неравенства** Если функция $\varphi(t)$ определена на множестве значений функций $f(x)$ и $g(x)$ для всех $x \in X$, то: - при строго возрастающей функции $\varphi(t)$ знак неравенства сохраняется: $$f(x) > g(x) \iff \varphi(f(x)) > \varphi(g(x))$$ - при строго убывающей функции $\varphi(t)$ знак неравенства меняется на противоположный: $$f(x) > g(x) \iff \varphi(f(x)) < \varphi(g(x))$$ *(К таким преобразованиям относятся, например, потенцирование и логарифмирование по постоянному основанию $a > 0, a \neq 1$ при условии, что обе части неравенства положительны).*