ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 11 - 3

Два неравенства с одной переменной называют равносильными на некотором множестве, если множества их решений, принадлежащие этому множеству, совпадают. **а) на множестве положительных чисел** Рассмотрим множество положительных чисел $M = (0; +\infty)$ и неравенства: $$ x > 2 \quad \text{и} \quad x^2 > 4 $$ * Неравенство $x > 2$ на множестве положительных чисел имеет множество решений $(2; +\infty)$. * Неравенство $x^2 > 4$ на множестве всех действительных чисел имеет решение $(-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$. Пересекая его с множеством положительных чисел $M$, получаем промежуток $(2; +\infty)$. Так как на множестве положительных чисел решения обоих неравенств совпадают, неравенства $x > 2$ и $x^2 > 4$ являются равносильными на этом множестве. **б) на множестве отрицательных чисел** Рассмотрим множество отрицательных чисел $M = (-\infty; 0)$ и неравенства: $$ x < -3 \quad \text{и} \quad x^2 > 9 $$ * Первое неравенство $x < -3$ на множестве отрицательных чисел имеет решение $(-\infty; -3)$. * Второе неравенство $x^2 > 9$ на множестве всех действительных чисел имеет решение $(-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$. Пересекая его с множеством отрицательных чисел $M$, получаем промежуток $(-\infty; -3)$. Множества решений на рассматриваемом множестве совпадают, следовательно, неравенства $x < -3$ и $x^2 > 9$ равносильны на множестве отрицательных чисел. **в) на множестве всех действительных чисел** Рассмотрим множество всех действительных чисел $\mathbb{R} = (-\infty; +\infty)$ и неравенства: $$ 2x - 1 > 3 \quad \text{и} \quad x > 2 $$ Решим первое неравенство: $$ 2x - 1 > 3 \iff 2x > 4 \iff x > 2 $$ Множеством решений обоих неравенств на $\mathbb{R}$ является интервал $(2; +\infty)$. Значит, эти неравенства равносильны на множестве всех действительных чисел.