ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 1 - 8

**а)** $y = \sqrt{x - 1}$ Арифметический квадратный корень определён тогда и только тогда, когда выражение под знаком корня неотрицательно: $$ x - 1 \ge 0 $$ $$ x \ge 1 $$ Ответ: $D(y) = [1; +\infty)$. --- **б)** $y = \sqrt[3]{x + 1}$ Корень нечётной степени определён при любых действительных значениях подкоренного выражения, поэтому ограничений на переменную $x$ нет. $$ x \in (-\infty; +\infty) $$ Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$. --- **в)** $y = \sqrt{x^2 - 1}$ Подкоренное выражение корня чётной степени должно быть неотрицательным: $$ x^2 - 1 \ge 0 $$ Разложим левую часть неравенства на множители: $$ (x - 1)(x + 1) \ge 0 $$ Корни уравнения $(x - 1)(x + 1) = 0$ разбивают числовую прямую на интервалы: $x_1 = -1$, $x_2 = 1$. Применяя метод интервалов, получаем: $$ x \in (-\infty; -1] \cup [1; +\infty) $$ Ответ: $D(y) = (-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$. --- **г)** $y = \frac{x^2 - 9}{x^2 - 4}$ Дробно-рациональная функция определена для всех действительных чисел, кроме тех, которые обращают знаменатель в ноль: $$ x^2 - 4 \ne 0 $$ $$ (x - 2)(x + 2) \ne 0 $$ $$ x \ne -2 \quad \text{и} \quad x \ne 2 $$ Ответ: $D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$. --- **д)** $y = \frac{1}{\sqrt{x^2 - x}}$ Корень чётной степени находится в знаменателе дроби, поэтому подкоренное выражение должно быть строго больше нуля: $$ x^2 - x > 0 $$ Вынесем общий множитель за скобки: $$ x(x - 1) > 0 $$ Найдём нули функции: $x = 0$ и $x = 1$. Методом интервалов определяем промежутки, где выражение принимает положительные значения: $$ x \in (-\infty; 0) \cup (1; +\infty) $$ Ответ: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (1; +\infty)$. --- **е)** $y = \frac{\sqrt{x^2 + x}}{x + 4}$ Функция определена при одновременном выполнении двух условий: выражение под знаком корня чётной степени неотрицательно, а знаменатель дроби не равен нулю. Составим систему: $$ \begin{cases} x^2 + x \ge 0, \\ x + 4 \ne 0 \end{cases} $$ Решим первое неравенство системы: $$ x(x + 1) \ge 0 $$ Корни $x = -1$ и $x = 0$ разбивают числовую ось на промежутки знака. Получаем: $$ x \in (-\infty; -1] \cup [0; +\infty) $$ Из второго условия получаем ограничение для знаменателя: $$ x \ne -4 $$ Исключим точку $x = -4$ из промежутка $(-\infty; -1]$: $$ x \in (-\infty; -4) \cup (-4; -1] \cup [0; +\infty) $$ Ответ: $D(y) = (-\infty; -4) \cup (-4; -1] \cup [0; +\infty)$.