ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 1 - 70

**а)** $x = 2y$ Выразим зависимость переменной $y$ от $x$: $$ y = \frac{1}{2}x $$ Графиком является прямая, проходящая через начало координат. Для построения достаточно задать две точки: * если $x = 0$, то $y = 0$; * если $x = 2$, то $y = 1$. График — прямая линия, проходящая через точки $(0; 0)$ и $(2; 1)$. --- **б)** $x = y^2$, при условии $y \ge 0$ Так как $y \ge 0$, выразим $y$ через $x$: $$ y = \sqrt{x} $$ Область определения: $x \ge 0$. Область значений: $y \ge 0$. Таблица значений для построения: * $x = 0 \implies y = 0$; * $x = 1 \implies y = 1$; * $x = 4 \implies y = 2$; * $x = 9 \implies y = 3$. График представляет собой верхнюю ветвь параболы, выходящую из точки $(0; 0)$ и направленную вправо. --- **в)** $x = 2^y$ Так как показательное выражение $2^y > 0$ при любых действительных $y$, область определения: $x \in (0; +\infty)$. Выразим $y$ через $x$ по определению логарифма: $$ y = \log_2 x $$ Это логарифмическая функция с основанием $a = 2 > 1$, функция монотонно возрастает. Ось ординат ($x = 0$) является вертикальной асимптотой. Характерные точки: * при $x = 0{,}5$: $y = -1$; * при $x = 1$: $y = 0$; * при $x = 2$: $y = 1$; * при $x = 4$: $y = 2$. График — кривая логарифмической функции $y = \log_2 x$, лежащая в I и IV координатных четвертях. --- **г)** $x = \left(\frac{1}{2}\right)^y$ Так как $\left(\frac{1}{2}\right)^y > 0$, область определения: $x \in (0; +\infty)$. Выразим $y$ через $x$: $$ y = \log_{\frac{1}{2}} x = -\log_2 x $$ Это логарифмическая функция с основанием $0 < a = \frac{1}{2} < 1$, функция монотонно убывает. Ось ординат ($x = 0$) является вертикальной асимптотой. Характерные точки: * при $x = 0{,}5$: $y = 1$; * при $x = 1$: $y = 0$; * при $x = 2$: $y = -1$; * при $x = 4$: $y = -2$. График — убывающая логарифмическая кривая, симметричная графику функции из пункта **в)** относительно оси абсцисс $Ox$. --- **д)** $x = \sin y$, при условии $-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$ На отрезке $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$ функция синуса монотонно возрастает и пробегает значения от $-1$ до $1$. Следовательно, обратная функция существует и задается формулой: $$ y = \arcsin x $$ Область определения: $x \in [-1; 1]$. Область значений: $y \in \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$. Характерные точки: * при $x = -1$: $y = -\frac{\pi}{2}$; * при $x = -\frac{1}{2}$: $y = -\frac{\pi}{6}$; * при $x = 0$: $y = 0$; * при $x = \frac{1}{2}$: $y = \frac{\pi}{6}$; * при $x = 1$: $y = \frac{\pi}{2}$. График — отрезок синусоиды, ориентированный вдоль оси $Oy$, с концами в точках $\left(-1; -\frac{\pi}{2}\right)$ и $\left(1; \frac{\pi}{2}\right)$. --- **е)** $x = \sqrt{1 - y^2}$ Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $$ 1 - y^2 \ge 0 \iff y^2 \le 1 \iff -1 \le y \le 1 $$ По определению арифметического квадратного корня $x \ge 0$. Возведем обе части равенства в квадрат: $$ x^2 = 1 - y^2 \iff x^2 + y^2 = 1 $$ Уравнение $x^2 + y^2 = 1$ задает окружность с центром в начале координат $(0; 0)$ и радиусом $R = 1$. Так как $x \ge 0$, графиком является правая полуокружность. Характерные точки: * $(0; -1)$; * $(1; 0)$; * $(0; 1)$. График — правая половина единичной окружности с центром в точке $(0; 0)$, лежащая в полуплоскости $x \ge 0$.