ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 1 - 69

### а) $y = 3 - \sqrt{9 - x^2 + 8x}$ Преобразуем подкоренное выражение, выделив полный квадрат: $$ 9 - x^2 + 8x = -(x^2 - 8x - 9) = -((x - 4)^2 - 16 - 9) = 25 - (x - 4)^2 $$ Функция принимает вид: $$ y = 3 - \sqrt{25 - (x - 4)^2} $$ **1. Область определения:** Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $$ 25 - (x - 4)^2 \ge 0 \iff (x - 4)^2 \le 25 \iff -5 \le x - 4 \le 5 \iff -1 \le x \le 9 $$ $$ D(y) = [-1; 9] $$ **2. Построение графика:** Перенесем число $3$ в левую часть: $$ y - 3 = -\sqrt{25 - (x - 4)^2} \iff \sqrt{25 - (x - 4)^2} = 3 - y $$ Так как арифметический корень неотрицателен, должно выполняться условие: $3 - y \ge 0 \implies y \le 3$. Возведем обе части уравнения в квадрат: $$ 25 - (x - 4)^2 = (3 - y)^2 \iff (x - 4)^2 + (y - 3)^2 = 25 $$ Уравнение $(x - 4)^2 + (y - 3)^2 = 25$ задает окружность с центром в точке $(4; 3)$ и радиусом $R = 5$. С учетом условия $y \le 3$, графиком данной функции является **нижняя полуокружность** с центром $(4; 3)$ и радиусом $R = 5$. Ключевые точки для построения: * Концы полуокружности: $(-1; 3)$ и $(9; 3)$; * Самая нижняя точка (вершина): при $x = 4$ получаем $y = 3 - 5 = -2$, то есть точка $(4; -2)$. **3. Нули функции:** $$ y = 0 \iff 3 - \sqrt{25 - (x - 4)^2} = 0 \iff \sqrt{25 - (x - 4)^2} = 3 $$ $$ 25 - (x - 4)^2 = 9 \iff (x - 4)^2 = 16 \iff x - 4 = \pm 4 $$ $$ x_1 = 0, \quad x_2 = 8 $$ **4. Промежутки знакопостоянства:** * $y > 0$ при $x \in [-1; 0) \cup (8; 9]$; * $y < 0$ при $x \in (0; 8)$. **5. Промежутки возрастания и убывания:** * Функция убывает на отрезке $[-1; 4]$; * Функция возрастает на отрезке $[4; 9]$. --- ### б) $y = 4 - \sqrt{9 - x^2 - 8x}$ Преобразуем подкоренное выражение: $$ 9 - x^2 - 8x = -(x^2 + 8x - 9) = -((x + 4)^2 - 16 - 9) = 25 - (x + 4)^2 $$ Функция принимает вид: $$ y = 4 - \sqrt{25 - (x + 4)^2} $$ **1. Область определения:** $$ 25 - (x + 4)^2 \ge 0 \iff (x + 4)^2 \le 25 \iff -5 \le x + 4 \le 5 \iff -9 \le x \le 1 $$ $$ D(y) = [-9; 1] $$ **2. Построение графика:** $$ \sqrt{25 - (x + 4)^2} = 4 - y $$ При условии $4 - y \ge 0 \implies y \le 4$, возводим обе части в квадрат: $$ (x + 4)^2 + (y - 4)^2 = 25 $$ Графиком функции является **нижняя полуокружность** с центром в точке $(-4; 4)$ и радиусом $R = 5$. Ключевые точки для построения: * Концы полуокружности: $(-9; 4)$ и $(1; 4)$; * Самая нижняя точка: при $x = -4$ получаем $y = 4 - 5 = -1$, то есть точка $(-4; -1)$. **3. Нули функции:** $$ y = 0 \iff \sqrt{25 - (x + 4)^2} = 4 $$ $$ 25 - (x + 4)^2 = 16 \iff (x + 4)^2 = 9 \iff x + 4 = \pm 3 $$ $$ x_1 = -7, \quad x_2 = -1 $$ **4. Промежутки знакопостоянства:** * $y > 0$ при $x \in [-9; -7) \cup (-1; 1]$; * $y < 0$ при $x \in (-7; -1)$. **5. Промежутки возрастания и убывания:** * Функция убывает на отрезке $[-9; -4]$; * Функция возрастает на отрезке $[-4; 1]$. --- ### в) $y = 12 - \sqrt{125 - x^2 - 20x}$ Преобразуем подкоренное выражение: $$ 125 - x^2 - 20x = -(x^2 + 20x - 125) = -((x + 10)^2 - 100 - 125) = 225 - (x + 10)^2 $$ Функция принимает вид: $$ y = 12 - \sqrt{225 - (x + 10)^2} $$ **1. Область определения:** $$ 225 - (x + 10)^2 \ge 0 \iff (x + 10)^2 \le 225 \iff -15 \le x + 10 \le 15 \iff -25 \le x \le 5 $$ $$ D(y) = [-25; 5] $$ **2. Построение графика:** $$ \sqrt{225 - (x + 10)^2} = 12 - y $$ При условии $12 - y \ge 0 \implies y \le 12$, возводим обе части в квадрат: $$ (x + 10)^2 + (y - 12)^2 = 225 $$ Графиком функции является **нижняя полуокружность** с центром в точке $(-10; 12)$ и радиусом $R = 15$. Ключевые точки для построения: * Концы полуокружности: $(-25; 12)$ и $(5; 12)$; * Самая нижняя точка: при $x = -10$ получаем $y = 12 - 15 = -3$, то есть точка $(-10; -3)$. **3. Нули функции:** $$ y = 0 \iff \sqrt{225 - (x + 10)^2} = 12 $$ $$ 225 - (x + 10)^2 = 144 \iff (x + 10)^2 = 81 \iff x + 10 = \pm 9 $$ $$ x_1 = -19, \quad x_2 = -1 $$ **4. Промежутки знакопостоянства:** * $y > 0$ при $x \in [-25; -19) \cup (-1; 5]$; * $y < 0$ при $x \in (-19; -1)$. **5. Промежутки возрастания и убывания:** * Функция убывает на отрезке $[-25; -10]$; * Функция возрастает на отрезке $[-10; 5]$. --- ### г) $y = -5 + \sqrt{69 - x^2 + 20x}$ Преобразуем подкоренное выражение: $$ 69 - x^2 + 20x = -(x^2 - 20x - 69) = -((x - 10)^2 - 100 - 69) = 169 - (x - 10)^2 $$ Функция принимает вид: $$ y = -5 + \sqrt{169 - (x - 10)^2} $$ **1. Область определения:** $$ 169 - (x - 10)^2 \ge 0 \iff (x - 10)^2 \le 169 \iff -13 \le x - 10 \le 13 \iff -3 \le x \le 23 $$ $$ D(y) = [-3; 23] $$ **2. Построение графика:** $$ y + 5 = \sqrt{169 - (x - 10)^2} $$ При условии $y + 5 \ge 0 \implies y \ge -5$, возводим обе части в квадрат: $$ (x - 10)^2 + (y + 5)^2 = 169 $$ Графиком функции является **верхняя полуокружность** с центром в точке $(10; -5)$ и радиусом $R = 13$. Ключевые точки для построения: * Концы полуокружности: $(-3; -5)$ и $(23; -5)$; * Самая верхняя точка (вершина): при $x = 10$ получаем $y = -5 + 13 = 8$, то есть точка $(10; 8)$. **3. Нули функции:** $$ y = 0 \iff \sqrt{169 - (x - 10)^2} = 5 $$ $$ 169 - (x - 10)^2 = 25 \iff (x - 10)^2 = 144 \iff x - 10 = \pm 12 $$ $$ x_1 = -2, \quad x_2 = 22 $$ **4. Промежутки знакопостоянства:** * $y > 0$ при $x \in (-2; 22)$; * $y < 0$ при $x \in [-3; -2) \cup (22; 23]$. **5. Промежутки возрастания и убывания:** * Функция возрастает на отрезке $[-3; 10]$; * Функция убывает на отрезке $[10; 23]$.