ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 1 - 65

**а)** $y = x^2 + 2x + 3$ Преобразуем выражение, выделив полный квадрат: $$ y = (x^2 + 2x + 1) + 2 = (x + 1)^2 + 2 $$ График данной функции получается из базового графика параболы $y = x^2$ с помощью следующих геометрических преобразований: 1. Сдвиг графика $y = x^2$ вдоль оси $Ox$ на $1$ единицу влево $\implies y = (x + 1)^2$. 2. Сдвиг полученного графика вдоль оси $Oy$ на $2$ единицы вверх $\implies y = (x + 1)^2 + 2$. Характеристики графика: * График — парабола, ветви которой направлены вверх. * Вершина параболы находится в точке $(-1; 2)$. * Ось симметрии параболы — прямая $x = -1$. * Точки для построения: | $x$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $6$ | $3$ | $2$ | $3$ | $6$ | --- **b)** $y = 2 \cdot 3^{x+1} - 6$ График функции получается из графика показательной функции $y = 3^x$ с помощью цепочки преобразований: 1. Сдвиг графика $y = 3^x$ вдоль оси $Ox$ на $1$ единицу влево $\implies y = 3^{x+1}$. 2. Растяжение вдоль оси $Oy$ в $2$ раза от оси $Ox$ $\implies y = 2 \cdot 3^{x+1}$. 3. Сдвиг вдоль оси $Oy$ на $6$ единиц вниз $\implies y = 2 \cdot 3^{x+1} - 6$. Характеристики графика: * Функция монотонно возрастает на всей числовой прямой $\mathbb{R}$. * Горизонтальная асимптота: прямая $y = -6$ (при $x \to -\infty$). * Точки для построения: | $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $-5\frac{1}{3}$ | $-4$ | $0$ | $12$ | --- **c)** $y = 2(x-1)^3 - 3$ График функции получается из графика кубической параболы $y = x^3$ с помощью следующих преобразований: 1. Сдвиг графика $y = x^3$ вдоль оси $Ox$ на $1$ единицу вправо $\implies y = (x - 1)^3$. 2. Растяжение вдоль оси $Oy$ в $2$ раза от оси $Ox$ $\implies y = 2(x - 1)^3$. 3. Сдвиг вдоль оси $Oy$ на $3$ единицы вниз $\implies y = 2(x - 1)^3 - 3$. Характеристики графика: * Функция монотонно возрастает на $\mathbb{R}$. * Точка перегиба графика сместилась из начала координат в точку $(1; -3)$. * Точки для построения: | $x$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $-19$ | $-5$ | $-3$ | $-1$ | $13$ | --- **d)** $y = \sin\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) - 1$ Преобразуем аргумент синуса, вынеся коэффициент $2$ за скобки: $$ y = \sin\left(2\left(x + \frac{\pi}{6}\right)\right) - 1 $$ График функции получается из графика синусоиды $y = \sin x$ с помощью следующих преобразований: 1. Сжатие к оси $Oy$ в $2$ раза $\implies y = \sin(2x)$. Период функции уменьшается в 2 раза: $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$. 2. Сдвиг вдоль оси $Ox$ на $\frac{\pi}{6}$ влево $\implies y = \sin\left(2\left(x + \frac{\pi}{6}\right)\right)$. 3. Сдвиг вдоль оси $Oy$ на $1$ единицу вниз $\implies y = \sin\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) - 1$. Характеристики графика: * Период: $T = \pi$. * Область значений: $E(y) = [-1 - 1; 1 - 1] = [-2; 0]$. * Характерные точки одного периода $\left[-\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}\right]$: * при $x = -\frac{\pi}{6}$: $y = \sin(0) - 1 = -1$; * при $x = \frac{\pi}{12}$: $y = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - 1 = 0$ (максимум); * при $x = \frac{\pi}{3}$: $y = \sin(\pi) - 1 = -1$; * при $x = \frac{7\pi}{12}$: $y = \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) - 1 = -2$ (минимум); * при $x = \frac{5\pi}{6}$: $y = \sin(2\pi) - 1 = -1$. --- **e)** $y = -2\tan\left(x - \frac{\pi}{3}\right) + 3$ График функции получается из графика тангенсоиды $y = \tan x$ с помощью следующих преобразований: 1. Сдвиг графика $y = \tan x$ вдоль оси $Ox$ на $\frac{\pi}{3}$ вправо $\implies y = \tan\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$. 2. Растяжение вдоль оси $Oy$ в $2$ раза от оси $Ox$ и зеркальное отражение относительно оси $Ox$ $\implies y = -2\tan\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$. 3. Сдвиг вдоль оси $Oy$ на $3$ единицы вверх $\implies y = -2\tan\left(x - \frac{\pi}{3}\right) + 3$. Характеристики графика: * Функция убывает на каждом интервале области определения (из-за знака «минус» перед тангенсом). * Период: $T = \pi$. * Вертикальные асимптоты: $$ x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{5\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ * Точки для построения базовой ветви на интервале $\left(-\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}\right)$: * при $x = \frac{\pi}{12}$: $y = -2\tan\left(-\frac{\pi}{4}\right) + 3 = -2 \cdot (-1) + 3 = 5$; * при $x = \frac{\pi}{3}$: $y = -2\tan(0) + 3 = 3$ (центр симметрии ветви); * при $x = \frac{7\pi}{12}$: $y = -2\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) + 3 = -2 \cdot 1 + 3 = 1$.