ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 1 - 63

a) $y = x^3$ и $y = (2x)^3$ График функции $y = (2x)^3 = 8x^3$ получается из графика функции $y = x^3$ путем сжатия к оси ординат $Oy$ в $2$ раза (абсцисса каждой точки уменьшается в $2$ раза при сохранении той же ординаты). Ключевые точки для построения: * Для $y = x^3$: $(-2; -8)$, $(-1; -1)$, $(0; 0)$, $(1; 1)$, $(2; 8)$. * Для $y = (2x)^3$: $(-1; -8)$, $(-0{,}5; -1)$, $(0; 0)$, $(0{,}5; 1)$, $(1; 8)$. --- b) $y = 3^x$ и $y = 3^{2x}$ График функции $y = 3^{2x} = (3^2)^x = 9^x$ получается из графика показательной функции $y = 3^x$ сжатием к оси $Oy$ в $2$ раза. Обе функции возрастают на всей числовой прямой и пересекают ось ординат в точке $(0; 1)$. Ключевые точки для построения: * Для $y = 3^x$: $\left(-1; \frac{1}{3}\right)$, $(0; 1)$, $(1; 3)$, $(2; 9)$. * Для $y = 3^{2x}$: $\left(-0{,}5; \frac{1}{3}\right)$, $(0; 1)$, $(0{,}5; 3)$, $(1; 9)$. Горизонтальная асимптота для обоих графиков при $x \to -\infty$ — прямая $y = 0$ (ось $Ox$). --- d) $y = \sin x$ и $y = \sin 3x$ График функции $y = \sin 3x$ получается из синусоиды $y = \sin x$ сжатием к оси $Oy$ в $3$ раза. * Основной период функции $y = \sin x$ равен $T_1 = 2\pi$. * Основной период функции $y = \sin 3x$ уменьшается в $3$ раза: $$ T_2 = \frac{2\pi}{3} $$ Область значений обеих функций: $E(y) = [-1; 1]$. Ключевые точки на промежутке $[0; 2\pi]$: * Для $y = \sin x$: нули: $(0; 0)$, $(\pi; 0)$, $(2\pi; 0)$; максимум: $\left(\frac{\pi}{2}; 1\right)$; минимум: $\left(\frac{3\pi}{2}; -1\right)$. * Для $y = \sin 3x$: нули: $x = \frac{\pi k}{3}$, то есть $(0; 0)$, $\left(\frac{\pi}{3}; 0\right)$, $\left(\frac{2\pi}{3}; 0\right)$, $(\pi; 0)$ и так далее; максимумы: $\left(\frac{\pi}{6}; 1\right)$, $\left(\frac{5\pi}{6}; 1\right)$; минимумы: $\left(\frac{\pi}{2}; -1\right)$, $\left(\frac{7\pi}{6}; -1\right)$. --- 6) $y = x^4$ и $y = (-2x)^4$ Преобразуем формулу второй функции, учитывая чётность степени: $$ y = (-2x)^4 = 16x^4 = (2x)^4 $$ График функции $y = (-2x)^4$ получается из графика функции $y = x^4$ сжатием к оси $Oy$ в $2$ раза (в силу чётности функции отражение относительно оси $Oy$ оставляет график неизменным). Ключевые точки для построения: * Для $y = x^4$: $(-2; 16)$, $(-1; 1)$, $(0; 0)$, $(1; 1)$, $(2; 16)$. * Для $y = (-2x)^4$: $(-1; 16)$, $(-0{,}5; 1)$, $(0; 0)$, $(0{,}5; 1)$, $(1; 16)$. --- r) $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ и $y = \log_{\frac{1}{3}} (-2x)$ Области определения функций: * Для $y = \log_{\frac{1}{3}} x$: $D(y) = (0; +\infty)$. * Для $y = \log_{\frac{1}{3}} (-2x)$: $-2x > 0 \implies D(y) = (-\infty; 0)$. График функции $y = \log_{\frac{1}{3}} (-2x)$ получается из графика $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ симметричным отражением относительно оси ординат $Oy$ и последующим сжатием к оси $Oy$ в $2$ раза. Ключевые точки для построения: * Для $y = \log_{\frac{1}{3}} x$: $(3; -1)$, $(1; 0)$, $\left(\frac{1}{3}; 1\right)$, $\left(\frac{1}{9}; 2\right)$. * Для $y = \log_{\frac{1}{3}} (-2x)$: $(-1{,}5; -1)$, $(-0{,}5; 0)$, $\left(-\frac{1}{6}; 1\right)$, $\left(-\frac{1}{18}; 2\right)$. Вертикальная асимптота для обоих графиков — прямая $x = 0$ (ось $Oy$). --- e) $y = \tan x$ и $y = \tan(-2x)$ В силу нечётности тангенса: $$ y = \tan(-2x) = -\tan(2x) $$ График функции $y = \tan(-2x)$ получается из графика тангенсоиды $y = \tan x$ сжатием к оси $Oy$ в $2$ раза и симметричным отражением относительно оси абсцисс $Ox$ (или оси ординат $Oy$). * Период функции $y = \tan x$ равен $T_1 = \pi$, вертикальные асимптоты: $$ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ * Период функции $y = \tan(-2x)$ равен: $$ T_2 = \frac{\pi}{2} $$ Вертикальные асимптоты: $$ -2x = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = -\frac{\pi}{4} - \frac{\pi k}{2} \iff x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Ключевые точки на центральном периоде: * Для $y = \tan x$ (на интервале $\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$): $\left(-\frac{\pi}{4}; -1\right)$, $(0; 0)$, $\left(\frac{\pi}{4}; 1\right)$. * Для $y = \tan(-2x)$ (на интервале $\left(-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4}\right)$): $\left(-\frac{\pi}{8}; 1\right)$, $(0; 0)$, $\left(\frac{\pi}{8}; -1\right)$.