ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 1 - 41

а) Докажем, что функция $f(x) = |x|$ возрастает на промежутке $[0; +\infty)$. По определению, функция $f(x)$ называется возрастающей на промежутке, если для любых значений $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка таких, что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) < f(x_2)$. Пусть $x_1, x_2 \in [0; +\infty)$ и $x_1 < x_2$. Так как $x_1 \ge 0$ и $x_2 \ge 0$, то по определению модуля: $$ |x_1| = x_1 \quad \text{и} \quad |x_2| = x_2 $$ Поскольку $x_1 < x_2$, получаем: $$ |x_1| < |x_2|, \quad \text{то есть} \quad f(x_1) < f(x_2) $$ Следовательно, функция $y = |x|$ возрастает на промежутке $[0; +\infty)$, что и требовалось доказать. б) Докажем, что функция $f(x) = |x|$ убывает на промежутке $(-\infty; 0]$. По определению, функция $f(x)$ называется убывающей на промежутке, если для любых значений $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка таких, что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) > f(x_2)$. Пусть $x_1, x_2 \in (-\infty; 0]$ и $x_1 < x_2$. Так как $x_1 \le 0$ и $x_2 \le 0$, по определению модуля: $$ |x_1| = -x_1 \quad \text{и} \quad |x_2| = -x_2 $$ Умножим обе части верного неравенства $x_1 < x_2$ на отрицательное число $-1$, изменив знак неравенства на противоположный: $$ -x_1 > -x_2 $$ Отсюда следует: $$ |x_1| > |x_2|, \quad \text{то есть} \quad f(x_1) > f(x_2) $$ Следовательно, функция $y = |x|$ убывает на промежутке $(-\infty; 0]$, что и требовалось доказать.