ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 1 - 40

**а)** Доказательство проведём методом от противного. Пусть для некоторых чисел $x_1, x_2 \in X$ выполняется неравенство $f(x_1) > f(x_2)$. Предположим противное, то есть что неравенство $x_1 > x_2$ не выполняется. В таком случае возможны два варианта: либо $x_1 = x_2$, либо $x_1 < x_2$. 1. Если $x_1 = x_2$, то по определению функции её значения в этих точках совпадают: $$ f(x_1) = f(x_2) $$ Это противоречит условию $f(x_1) > f(x_2)$. 2. Если $x_1 < x_2$, то в силу возрастания функции $f(x)$ на промежутке $X$ меньшему значению аргумента должно соответствовать меньшее значение функции: $$ f(x_1) < f(x_2) $$ Это также противоречит условию $f(x_1) > f(x_2)$. Оба случая привели к противоречию, следовательно, наше предположение неверно. Значит, справедливо неравенство $x_1 > x_2$. Что и требовалось доказать. --- **б)** Доказательство проведём методом от противного. Пусть для некоторых чисел $x_1, x_2 \in X$ выполняется неравенство $f(x_1) > f(x_2)$. Предположим противное, то есть что неравенство $x_1 < x_2$ не выполняется. Тогда возможны два варианта: либо $x_1 = x_2$, либо $x_1 > x_2$. 1. Если $x_1 = x_2$, то: $$ f(x_1) = f(x_2) $$ Это противоречит условию $f(x_1) > f(x_2)$. 2. Если $x_1 > x_2$, то в силу убывания функции $f(x)$ на промежутке $X$ большему значению аргумента должно соответствовать меньшее значение функции: $$ f(x_1) < f(x_2) $$ Это также противоречит условию $f(x_1) > f(x_2)$. Оба случая привели к противоречию, следовательно, наше предположение неверно. Значит, справедливо неравенство $x_1 < x_2$. Что и требовалось доказать. --- **в)** Строгая монотонность функции означает, что она на промежутке $X$ либо возрастает, либо убывает. Пусть для некоторых чисел $x_1, x_2 \in X$ выполняется равенство $f(x_1) = f(x_2)$. Предположим противное, то есть $x_1 \neq x_2$. В таком случае верно либо $x_1 < x_2$, либо $x_1 > x_2$. 1. Пусть функция $f(x)$ возрастает на $X$: * если $x_1 < x_2$, то по определению возрастающей функции $f(x_1) < f(x_2)$; * если $x_1 > x_2$, то по определению возрастающей функции $f(x_1) > f(x_2)$. В обоих случаях $f(x_1) \neq f(x_2)$, что противоречит равенству $f(x_1) = f(x_2)$. 2. Пусть функция $f(x)$ убывает на $X$: * если $x_1 < x_2$, то по определению убывающей функции $f(x_1) > f(x_2)$; * если $x_1 > x_2$, то по определению убывающей функции $f(x_1) < f(x_2)$. В обоих случаях снова получаем $f(x_1) \neq f(x_2)$, что противоречит равенству $f(x_1) = f(x_2)$. Таким образом, предположение $x_1 \neq x_2$ неверно, следовательно, справедливо равенство $x_1 = x_2$. Что и требовалось доказать.