ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 956

**1)** Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} \sin x + \cos y = 1, \\ \sin^2 x + 2\sin x \cos y = \frac{3}{4}. \end{cases} $$ Сделаем замену переменных: пусть $u = \sin x$, $v = \cos y$, причем $|u| \le 1$ и $|v| \le 1$. Система принимает вид: $$ \begin{cases} u + v = 1, \\ u^2 + 2uv = \frac{3}{4}. \end{cases} $$ Выразим $v$ из первого уравнения и подставим во второе: $v = 1 - u$, $$ u^2 + 2u(1 - u) = \frac{3}{4}. $$ Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $$ u^2 + 2u - 2u^2 = \frac{3}{4}, $$ $$ -u^2 + 2u - \frac{3}{4} = 0. $$ Умножим обе части уравнения на $-4$: $$ 4u^2 - 8u + 3 = 0. $$ Найдем корни через дискриминант: $$ D_1 = (-4)^2 - 4 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 = 2^2, $$ $$ u = \frac{4 \pm 2}{4} \implies u_1 = \frac{3}{2}, \quad u_2 = \frac{1}{2}. $$ Так как $u = \sin x$, а $|\sin x| \le 1$, значение $u_1 = \frac{3}{2}$ не удовлетворяет условию существования решений. Значит, $u = \frac{1}{2}$. Найдем соответствующее значение $v$: $$ v = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}. $$ Возвращаемся к исходным переменным: $$ \begin{cases} \sin x = \frac{1}{2}, \\ \cos y = \frac{1}{2}. \end{cases} $$ Решим каждое уравнение: $$ x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}, $$ $$ y = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}. $$ **Ответ:** $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}; \quad y = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$. --- **2)** Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} \sin x + \sin y = \frac{1}{2}, \\ \cos^2 x + 2\sin x \sin y + 4\cos^2 y = 4. \end{cases} $$ Используем основное тригонометрическое тождество: $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ и $\cos^2 y = 1 - \sin^2 y$. Подставим эти выражения во второе уравнение: $$ (1 - \sin^2 x) + 2\sin x \sin y + 4(1 - \sin^2 y) = 4, $$ $$ 1 - \sin^2 x + 2\sin x \sin y + 4 - 4\sin^2 y = 4, $$ $$ 1 - \sin^2 x + 2\sin x \sin y - 4\sin^2 y = 0. $$ Сделаем замену переменных: пусть $u = \sin x$, $v = \sin y$, где $|u| \le 1$ и $|v| \le 1$. Получаем систему: $$ \begin{cases} u + v = \frac{1}{2}, \\ 1 - u^2 + 2uv - 4v^2 = 0. \end{cases} $$ Выразим $u$ из первого уравнения: $u = \frac{1}{2} - v$, и подставим во второе уравнение: $$ 1 - \left(\frac{1}{2} - v\right)^2 + 2\left(\frac{1}{2} - v\right)v - 4v^2 = 0, $$ $$ 1 - \left(\frac{1}{4} - v + v^2\right) + v - 2v^2 - 4v^2 = 0, $$ $$ 1 - \frac{1}{4} + v - v^2 + v - 6v^2 = 0, $$ $$ \frac{3}{4} + 2v - 7v^2 = 0. $$ Умножим обе части на $-4$: $$ 28v^2 - 8v - 3 = 0. $$ Найдем корни: $$ D_1 = (-4)^2 - 28 \cdot (-3) = 16 + 84 = 100 = 10^2, $$ $$ v = \frac{4 \pm 10}{28} \implies v_1 = \frac{14}{28} = \frac{1}{2}, \quad v_2 = -\frac{6}{28} = -\frac{3}{14}. $$ Оба значения удовлетворяют условию $|v| \le 1$. Найдем соответствующие значения переменной $u$: 1) Если $v = \frac{1}{2}$, то: $$ u = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0. $$ Получаем систему: $$ \begin{cases} \sin x = 0, \\ \sin y = \frac{1}{2}. \end{cases} $$ Отсюда: $$ x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}, $$ $$ y = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}. $$ 2) Если $v = -\frac{3}{14}$, то: $$ u = \frac{1}{2} - \left(-\frac{3}{14}\right) = \frac{7}{14} + \frac{3}{14} = \frac{10}{14} = \frac{5}{7}. $$ Так как $\left|\frac{5}{7}\right| \le 1$, получаем систему: $$ \begin{cases} \sin x = \frac{5}{7}, \\ \sin y = -\frac{3}{14}. \end{cases} $$ Отсюда: $$ x = (-1)^k \arcsin\frac{5}{7} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}, $$ $$ y = (-1)^{n+1} \arcsin\frac{3}{14} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}. $$ **Ответ:** $x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}; \quad y = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$; $x = (-1)^k \arcsin\frac{5}{7} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}; \quad y = (-1)^{n+1} \arcsin\frac{3}{14} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.