ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 823

Раскроем скобки в левой части уравнения и перенесем все слагаемые в одну сторону: $$ (x - m)(x - n) - k^2 = 0 $$ $$ x^2 - (m + n)x + mn - k^2 = 0 $$ Получили квадратное уравнение относительно $x$ вида $ax^2 + bx + c = 0$, где: $a = 1$, $b = -(m + n)$, $c = mn - k^2$. Комплексное число называется чисто мнимым, если его действительная часть равна нулю, а мнимая часть отлична от нуля (то есть число имеет вид $x = bi$, где $b \in \mathbb{R}$, $b \neq 0$). Для того чтобы квадратное уравнение с действительными коэффициентами имело чисто мнимые корни, они должны быть комплексно-сопряженными: $x_{1, 2} = \pm bi$ ($b \neq 0$). По теореме Виета: 1) Сумма корней: $$ x_1 + x_2 = bi + (-bi) = 0 $$ С другой стороны, по формуле Виета: $$ x_1 + x_2 = m + n $$ Значит, должно выполняться равенство: $$ m + n = 0 \implies n = -m $$ 2) Произведение корней: $$ x_1 \cdot x_2 = (bi)(-bi) = -b^2 i^2 = b^2 > 0 $$ С другой стороны, свободный член равен: $$ x_1 \cdot x_2 = mn - k^2 $$ Подставим $n = -m$ в выражение для свободного члена: $$ x_1 \cdot x_2 = m(-m) - k^2 = -m^2 - k^2 = -(m^2 + k^2) $$ Так как $m$ и $k$ — действительные числа, то $m^2 \ge 0$ и $k^2 \ge 0$. Следовательно: $$ m^2 + k^2 \ge 0 \implies -(m^2 + k^2) \le 0 $$ Таким образом, свободный член $x_1 \cdot x_2 \le 0$, что противоречит условию $x_1 \cdot x_2 = b^2 > 0$. Значит, корни данного уравнения не могут быть чисто мнимыми ни при каких действительных значениях $m$, $n$ и $k$. Ответ: не могут.