ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 754

1) Упростим выражение: $$ \left( \frac{a + \sqrt{ab}}{\sqrt{a^2 + ab}} - \frac{\sqrt{ab + b^2}}{\sqrt{ab} + b} \right)^{-2} - \frac{\sqrt{a^3b} + \sqrt{ab^3}}{2ab} $$ при допустимых значениях переменных ($a > 0$, $b > 0$, $a \ne b$). Выполним преобразования по действиям: 1. Упростим первую дробь в скобках, разложив числитель и подкоренное выражение в знаменателе на множители: $$ \frac{a + \sqrt{ab}}{\sqrt{a^2 + ab}} = \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{\sqrt{a(a + b)}} = \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{\sqrt{a}\sqrt{a + b}} = \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a + b}} $$ 2. Упростим вторую дробь в скобках: $$ \frac{\sqrt{ab + b^2}}{\sqrt{ab} + b} = \frac{\sqrt{b(a + b)}}{\sqrt{b}(\sqrt{a} + \sqrt{b})} = \frac{\sqrt{b}\sqrt{a + b}}{\sqrt{b}(\sqrt{a} + \sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a + b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} $$ 3. Найдем разность полученных дробей: $$ \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a + b}} - \frac{\sqrt{a + b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 - (\sqrt{a + b})^2}{\sqrt{a + b}(\sqrt{a} + \sqrt{b})} $$ Раскроем скобки в числителе: $$ (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 - (a + b) = a + 2\sqrt{ab} + b - a - b = 2\sqrt{ab} $$ Получаем: $$ \frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a + b}(\sqrt{a} + \sqrt{b})} $$ 4. Возведем результат в степень $-2$: $$ \left( \frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a + b}(\sqrt{a} + \sqrt{b})} \right)^{-2} = \left( \frac{\sqrt{a + b}(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{2\sqrt{ab}} \right)^2 = \frac{(a + b)(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2}{4ab} $$ Раскроем квадрат суммы во втором множителе: $$ (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + 2\sqrt{ab} + b = (a + b) + 2\sqrt{ab} $$ Тогда числитель равен: $$ (a + b)\bigl((a + b) + 2\sqrt{ab}\bigr) = (a + b)^2 + 2(a + b)\sqrt{ab} $$ Дробь принимает вид: $$ \frac{(a + b)^2 + 2(a + b)\sqrt{ab}}{4ab} = \frac{(a + b)^2}{4ab} + \frac{(a + b)\sqrt{ab}}{2ab} $$ 5. Упростим второе слагаемое исходного выражения, вынеся множители из-под знаков корней: $$ \frac{\sqrt{a^3b} + \sqrt{ab^3}}{2ab} = \frac{a\sqrt{ab} + b\sqrt{ab}}{2ab} = \frac{(a + b)\sqrt{ab}}{2ab} $$ 6. Выполним вычитание: $$ \frac{(a + b)^2}{4ab} + \frac{(a + b)\sqrt{ab}}{2ab} - \frac{(a + b)\sqrt{ab}}{2ab} = \frac{(a + b)^2}{4ab} $$ Ответ: $\frac{(a + b)^2}{4ab}$. --- 2) Упростим выражение: $$ (\sqrt{a} + \sqrt{b})^{-2} \cdot \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right) + \frac{2 \left( \frac{1}{\sqrt{a}} + \frac{1}{\sqrt{b}} \right)}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^3} $$ при допустимых значениях переменных ($a > 0$, $b > 0$). Выполним преобразования по действиям: 1. Преобразуем первое слагаемое: $$ (\sqrt{a} + \sqrt{b})^{-2} \cdot \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right) = \frac{1}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2} \cdot \frac{a + b}{ab} = \frac{a + b}{ab(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2} $$ 2. Преобразуем второе слагаемое, приведя к общему знаменателю выражение в скобках: $$ \frac{1}{\sqrt{a}} + \frac{1}{\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{ab}} $$ Подставим это в дробь и сократим на $(\sqrt{a} + \sqrt{b})$: $$ \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{ab}}}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^3} = \frac{2}{\sqrt{ab}(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2} $$ 3. Сложим оба слагаемых, вынеся общий множитель $\frac{1}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2}$ за скобки: $$ \frac{1}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2} \cdot \left( \frac{a + b}{ab} + \frac{2}{\sqrt{ab}} \right) $$ Приведем выражение в скобках к общему знаменателю $ab$: $$ \frac{a + b}{ab} + \frac{2\sqrt{ab}}{ab} = \frac{a + 2\sqrt{ab} + b}{ab} = \frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2}{ab} $$ 4. Перемножим полученные выражения: $$ \frac{1}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2} \cdot \frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2}{ab} = \frac{1}{ab} $$ Ответ: $\frac{1}{ab}$.