ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 753

Упростим выражение из учебника (с исправлением типографских неточностей записи показателей степеней): $$ \frac{a^{-1}b^{-2} - a^{-2}b^{-1}}{a^{-\frac{5}{3}}b^{-2} - a^{-2}b^{-\frac{5}{3}}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} $$ Выражение определено при $a > 0$, $b > 0$ и $a \neq b$. Выполним преобразования по действиям. **1. Преобразуем числитель дроби:** Вынесем за скобки общий множитель $a^{-2}b^{-2}$ (степени переменных с наименьшими показателями): $$ a^{-1}b^{-2} - a^{-2}b^{-1} = a^{-2}b^{-2}\left(a^{-1 - (-2)} - b^{-1 - (-2)}\right) = a^{-2}b^{-2}(a - b) $$ **2. Преобразуем знаменатель дроби:** Сравним показатели степеней при одинаковых основаниях: так как $-2 = -\frac{6}{3} < -\frac{5}{3}$, вынесем за скобки общий множитель $a^{-2}b^{-2}$: $$ a^{-\frac{5}{3}}b^{-2} - a^{-2}b^{-\frac{5}{3}} = a^{-2}b^{-2}\left(a^{-\frac{5}{3} - (-2)} - b^{-\frac{5}{3} - (-2)}\right) $$ Вычислим показатель степени в скобках: $-\frac{5}{3} - (-2) = -\frac{5}{3} + \frac{6}{3} = \frac{1}{3}$. Получаем: $$ a^{-2}b^{-2}\left(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}\right) $$ **3. Упростим дробь:** Подставим полученные выражения в дробь и сократим на общий множитель $a^{-2}b^{-2}$: $$ \frac{a^{-2}b^{-2}(a - b)}{a^{-2}b^{-2}\left(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}\right)} = \frac{a - b}{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}} $$ Разложим числитель по формуле разности кубов $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$, где $x = a^{\frac{1}{3}}$, $y = b^{\frac{1}{3}}$: $$ a - b = \left(a^{\frac{1}{3}}\right)^3 - \left(b^{\frac{1}{3}}\right)^3 = \left(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}\right)\left(a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}\right) $$ Сократим дробь на разность $\left(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}\right) \neq 0$: $$ \frac{\left(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}\right)\left(a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}\right)}{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}} = a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}} $$ **4. Выполним вычитание:** $$ \left(a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}\right) - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}} $$ Ответ: $a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}}$ (или $\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{b^2}$).