ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 748

### 1) Упростим выражение: $$ \frac{1}{4 + 4\sqrt{a}} - \frac{1}{2 - 2a} + \frac{1}{4 - 4\sqrt{a}} $$ Сгруппируем и сложим первое и третье слагаемые. Для этого вынесем общий множитель $4$ за скобки в их знаменателях: $$ \frac{1}{4(1 + \sqrt{a})} + \frac{1}{4(1 - \sqrt{a})} = \frac{1}{4} \cdot \left( \frac{1}{1 + \sqrt{a}} + \frac{1}{1 - \sqrt{a}} \right) $$ Приведем дроби в скобках к общему знаменателю, используя формулу разности квадратов $(1 + \sqrt{a})(1 - \sqrt{a}) = 1 - a$: $$ \frac{1}{4} \cdot \frac{(1 - \sqrt{a}) + (1 + \sqrt{a})}{(1 + \sqrt{a})(1 - \sqrt{a})} = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{1 - a} = \frac{1}{2(1 - a)} $$ Преобразуем второе слагаемое исходного выражения, вынеся множитель $2$ за скобки в знаменателе: $$ \frac{1}{2 - 2a} = \frac{1}{2(1 - a)} $$ Выполним вычитание: $$ \frac{1}{2(1 - a)} - \frac{1}{2(1 - a)} = 0 $$ Ответ: $0$. --- ### 2) Упростим выражение: $$ \frac{a\sqrt{2} + a - \sqrt{2} - 1}{a\sqrt{2} - 2 - \sqrt{2} + 2a} $$ Разложим на множители числитель дроби методом группировки: $$ a\sqrt{2} + a - \sqrt{2} - 1 = (a\sqrt{2} + a) - (\sqrt{2} + 1) = a(\sqrt{2} + 1) - (\sqrt{2} + 1) = (a - 1)(\sqrt{2} + 1) $$ Разложим на множители знаменатель дроби, предварительно сгруппировав слагаемые: $$ a\sqrt{2} + 2a - \sqrt{2} - 2 = (a\sqrt{2} + 2a) - (\sqrt{2} + 2) = a(\sqrt{2} + 2) - (\sqrt{2} + 2) = (a - 1)(\sqrt{2} + 2) $$ Вынесем $\sqrt{2}$ из второй скобки знаменателя, так как $2 = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}$: $$ \sqrt{2} + 2 = \sqrt{2}(1 + \sqrt{2}) = \sqrt{2}(\sqrt{2} + 1) $$ Значит, знаменатель равен: $$ (a - 1)\sqrt{2}(\sqrt{2} + 1) $$ Подставим полученные разложения в дробь и сократим ее: $$ \frac{(a - 1)(\sqrt{2} + 1)}{(a - 1)\sqrt{2}(\sqrt{2} + 1)} = \frac{1}{\sqrt{2}} $$ Избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$: $$ \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $$ Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.