ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 745

Для разложения биномов применим формулу бинома Ньютона: $$ (a + b)^n = C_n^0 a^n + C_n^1 a^{n-1}b + C_n^2 a^{n-2}b^2 + \dots + C_n^n b^n $$ где биномиальные коэффициенты $C_n^k$ вычисляются по формуле $C_n^k = \dfrac{n!}{k!(n - k)!}$ или берутся из соответствующей строки треугольника Паскаля. 1) Разложим бином $(x - 1)^5$. Показатель степени $n = 5$. Коэффициенты пятой строки треугольника Паскаля равны: $1, 5, 10, 10, 5, 1$. Так как второй член имеет знак «минус», знаки слагаемых в разложении чередуются: $$ (x - 1)^5 = C_5^0 x^5 - C_5^1 x^4 \cdot 1 + C_5^2 x^3 \cdot 1^2 - C_5^3 x^2 \cdot 1^3 + C_5^4 x \cdot 1^4 - C_5^5 \cdot 1^5 $$ $$ (x - 1)^5 = 1 \cdot x^5 - 5 \cdot x^4 + 10 \cdot x^3 - 10 \cdot x^2 + 5 \cdot x - 1 $$ $$ (x - 1)^5 = x^5 - 5x^4 + 10x^3 - 10x^2 + 5x - 1 $$ 2) Разложим бином $(a + 3)^4$. Показатель степени $n = 4$. Коэффициенты четвёртой строки треугольника Паскаля равны: $1, 4, 6, 4, 1$. Применяем формулу: $$ (a + 3)^4 = C_4^0 a^4 + C_4^1 a^3 \cdot 3^1 + C_4^2 a^2 \cdot 3^2 + C_4^3 a \cdot 3^3 + C_4^4 \cdot 3^4 $$ Подставим коэффициенты и вычислим степени числа $3$: $$ (a + 3)^4 = 1 \cdot a^4 + 4 \cdot a^3 \cdot 3 + 6 \cdot a^2 \cdot 9 + 4 \cdot a \cdot 27 + 1 \cdot 81 $$ Выполним умножение числовых множителей: $$ (a + 3)^4 = a^4 + 12a^3 + 54a^2 + 108a + 81 $$ Ответ: 1) $x^5 - 5x^4 + 10x^3 - 10x^2 + 5x - 1$; 2) $a^4 + 12a^3 + 54a^2 + 108a + 81$.