ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 705

Число сочетаний из $1000$ элементов по $500$ вычисляется по формуле: $$ C_{1000}^{500} = \frac{1000!}{500! \cdot (1000 - 500)!} = \frac{1000!}{(500!)^2} $$ Чтобы определить, делится ли данное число на простое число $7$, найдём показатель степени, с которым число $7$ входит в разложение на простые множители числителя $1000!$ и знаменателя $(500!)^2$. Показатель степени простого числа $p$ в разложении $n!$ определяется по формуле Лежандра: $$ v_p(n!) = \left[ \frac{n}{p} \right] + \left[ \frac{n}{p^2} \right] + \left[ \frac{n}{p^3} \right] + \dots $$ где $[x]$ — целая часть числа $x$. Степени числа $7$: $7^1 = 7$, $7^2 = 49$, $7^3 = 343$, $7^4 = 2401 > 1000$. 1) Найдём показатель степени числа $7$ в разложении $1000!$: $$ \left[ \frac{1000}{7} \right] = 142 $$ $$ \left[ \frac{1000}{49} \right] = 20 $$ $$ \left[ \frac{1000}{343} \right] = 2 $$ $$ v_7(1000!) = 142 + 20 + 2 = 164 $$ 2) Найдём показатель степени числа $7$ в разложении $500!$: $$ \left[ \frac{500}{7} \right] = 71 $$ $$ \left[ \frac{500}{49} \right] = 10 $$ $$ \left[ \frac{500}{343} \right] = 1 $$ $$ v_7(500!) = 71 + 10 + 1 = 82 $$ В знаменателе стоит $(500!)^2$, следовательно, показатель степени числа $7$ в знаменателе равен: $$ v_7((500!)^2) = 2 \cdot v_7(500!) = 2 \cdot 82 = 164 $$ 3) Найдём показатель степени числа $7$ в числе $C_{1000}^{500}$: $$ v_7(C_{1000}^{500}) = v_7(1000!) - v_7((500!)^2) = 164 - 164 = 0 $$ Поскольку показатель степени равен $0$, множитель $7$ отсутствует в каноническом разложении числа $C_{1000}^{500}$ на простые множители. Значит, число $C_{1000}^{500}$ не делится на $7$. Ответ: не делится.