ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 704

Две последние цифры натурального числа определяются его остатком при делении на $100$. ### 1) Найдём две последние цифры числа $2^{999}$ Найдём закономерность изменения двух последних цифр степеней двойки: $$2^{10} = 1024 \equiv 24 \pmod{100}$$ Возведём полученное сравнение в квадрат: $$2^{20} = (2^{10})^2 \equiv 24^2 = 576 \equiv 76 \pmod{100}$$ Заметим важную особенность числа $76$: при умножении само на себя оно всегда оканчивается на $76$, так как $76^2 = 5776 \equiv 76 \pmod{100}$. Следовательно, для любого натурального $k$: $$(2^{20})^k \equiv 76^k \equiv 76 \pmod{100}$$ Представим показатель степени $999$ в виде $20 \cdot 49 + 19$: $$2^{999} = (2^{20})^{49} \cdot 2^{19}$$ Найдём остаток от деления $2^{19}$ на $100$: $$2^{19} = 2^{10} \cdot 2^9 = 1024 \cdot 512 \equiv 24 \cdot 12 = 288 \equiv 88 \pmod{100}$$ Тогда: $$2^{999} = (2^{20})^{49} \cdot 2^{19} \equiv 76 \cdot 88 \pmod{100}$$ Вычислим произведение: $$76 \cdot 88 = 6688 \equiv 88 \pmod{100}$$ Таким образом, две последние цифры числа $2^{999}$ — это $88$. --- ### 2) Найдём две последние цифры числа $3^{999}$ Рассмотрим степень $3^4 = 81$. Вычислим $3^{20} = (3^4)^5 = 81^5$ с помощью формулы бинома Ньютона: $$81^5 = (1 + 80)^5 = 1 + 5 \cdot 80 + 10 \cdot 80^2 + \dots + 80^5$$ Все слагаемые, начиная с третьего, содержат множитель $80^2 = 6400$, который делится на $100$. Поэтому: $$81^5 \equiv 1 + 5 \cdot 80 = 1 + 400 = 401 \equiv 1 \pmod{100}$$ Значит, $3^{20} \equiv 1 \pmod{100}$, то есть каждые 20 степеней две последние цифры повторяются. Представим показатель степени $999$ в виде $20 \cdot 49 + 19$: $$3^{999} = (3^{20})^{49} \cdot 3^{19} \equiv 1^{49} \cdot 3^{19} \equiv 3^{19} \pmod{100}$$ Найдём остаток от деления $3^{19}$ на $100$: $$3^5 = 243 \equiv 43 \pmod{100}$$ $$3^{10} = (3^5)^2 \equiv 43^2 = 1849 \equiv 49 \pmod{100}$$ $$3^9 = 3^5 \cdot 3^4 \equiv 43 \cdot 81 = 3483 \equiv 83 \pmod{100}$$ $$3^{19} = 3^{10} \cdot 3^9 \equiv 49 \cdot 83 = 4067 \equiv 67 \pmod{100}$$ Таким образом, две последние цифры числа $3^{999}$ — это $67$. --- **Ответ:** 1) $88$; 2) $67$.