ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 682

Любое комплексное число $z \neq 0$ можно записать в тригонометрической форме: $$ z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi) $$ где $r = |z| > 0$ — модуль числа, а $\varphi$ — один из его аргументов. Для числа $z = 0$ аргумент не определен. 1) По условию один из аргументов равен нулю ($\varphi = 0$). Тогда: $$ z = r(\cos 0 + i\sin 0) = r $$ где $r > 0$. Так как $z = r$ — действительное положительное число, геометрически это луч, совпадающий с положительным направлением действительной оси (оси $Ox$), не включая начало координат (точку $0$). **Ответ:** положительная полуось действительной оси без начала координат ($x > 0, y = 0$). 2) По условию один из аргументов равен $\frac{5\pi}{2}$. Заметим, что $\frac{5\pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2}$. Тогда: $$ z = r\left(\cos\frac{5\pi}{2} + i\sin\frac{5\pi}{2}\right) = r\left(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\right) = ir $$ где $r > 0$. Так как $z = ir$ — чисто мнимое число с положительной мнимой частью, геометрически это луч, совпадающий с положительным направлением мнимой оси (оси $Oy$), не включая начало координат. **Ответ:** положительная полуось мнимой оси без начала координат ($x = 0, y > 0$). 3) По условию один из аргументов числа $z$ удовлетворяет двойному неравенству $2\pi < \varphi < 3\pi$. Вычтем период $2\pi$: $$ 0 < \varphi - 2\pi < \pi $$ Значения аргумента из интервала $(0; \pi)$ соответствуют точкам плоскости, для которых мнимая часть строго больше нуля ($y > 0$). Геометрически это открытая верхняя полуплоскость (то есть верхняя полуплоскость без границы — действительной оси). **Ответ:** верхняя полуплоскость без действительной оси ($\text{Im}\, z > 0$). 4) По условию один из аргументов числа $z$ удовлетворяет неравенствам $0 \leqslant \varphi < 2\pi$. Промежуток $[0; 2\pi)$ имеет длину $2\pi$, поэтому для любого комплексного числа $z \neq 0$ существует ровно одно значение аргумента $\varphi$, принадлежащее этому промежутку. Для числа $z = 0$ аргумент не определен. Следовательно, условию удовлетворяют все точки комплексной плоскости, кроме начала координат. **Ответ:** вся комплексная плоскость с выколотой точкой $z = 0$.