ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 681

Пусть точки $A$, $B$ и $C$ соответствуют комплексным числам $z_1$, $z_2$ и $z_3$ на комплексной плоскости и являются вершинами треугольника $ABC$. 1. Обозначим через $M$ середину стороны $BC$. Точке $M$ соответствует комплексное число: $$ z_M = \frac{z_2 + z_3}{2} $$ 2. Медианы треугольника пересекаются в одной точке $M_0$, которая делит каждую медиану, в том числе и $AM$, в отношении $2:1$, считая от вершины $A$: $$ \frac{AM_0}{M_0M} = 2 $$ 3. Используя формулу деления отрезка в заданном отношении $\lambda = 2$ на комплексной плоскости, найдем число $z_0$, соответствующее точке $M_0$: $$ z_0 = \frac{z_1 + \lambda z_M}{1 + \lambda} $$ Подставим значение $\lambda = 2$ и $z_M$: $$ z_0 = \frac{z_1 + 2 \cdot \dfrac{z_2 + z_3}{2}}{1 + 2} = \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3} $$ Таким образом, точка пересечения медиан треугольника выражается как среднее арифметическое комплексных чисел, соответствующих его вершинам. Ответ: $\dfrac{z_1 + z_2 + z_3}{3}$