ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 669

1) Вычислим значение выражения: $$ \frac{(1 + i)^6}{(1 - i)^4} + i^{24} + i^{25} + i^{26} $$ Преобразуем степени выражений в числителе и знаменателе дроби, используя формулу квадрата двучлена и равенство $i^2 = -1$: $$ (1 + i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i $$ $$ (1 + i)^6 = \left((1 + i)^2\right)^3 = (2i)^3 = 8i^3 = 8 \cdot (-i) = -8i $$ $$ (1 - i)^2 = 1 - 2i + i^2 = 1 - 2i - 1 = -2i $$ $$ (1 - i)^4 = \left((1 - i)^2\right)^2 = (-2i)^2 = 4i^2 = 4 \cdot (-1) = -4 $$ Тогда дробь принимает вид: $$ \frac{(1 + i)^6}{(1 - i)^4} = \frac{-8i}{-4} = 2i $$ Упростим степени мнимой единицы, учитывая, что $i^4 = 1$: $$ i^{24} = (i^4)^6 = 1^6 = 1 $$ $$ i^{25} = i^{24} \cdot i = 1 \cdot i = i $$ $$ i^{26} = i^{24} \cdot i^2 = 1 \cdot (-1) = -1 $$ Сложим полученные степени: $$ i^{24} + i^{25} + i^{26} = 1 + i - 1 = i $$ Сложим результат деления дроби и сумму степеней: $$ 2i + i = 3i $$ Ответ: $3i$. --- 2) Вычислим значение выражения: $$ \frac{2 - i^5}{2 - i^7} + (i - 1)^2 $$ Упростим степени мнимой единицы: $$ i^5 = i^4 \cdot i = 1 \cdot i = i $$ $$ i^7 = i^4 \cdot i^3 = 1 \cdot (-i) = -i $$ Подставим полученные значения в дробь: $$ \frac{2 - i^5}{2 - i^7} = \frac{2 - i}{2 - (-i)} = \frac{2 - i}{2 + i} $$ Чтобы разделить комплексные числа, умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю, то есть на $2 - i$: $$ \frac{2 - i}{2 + i} = \frac{(2 - i)(2 - i)}{(2 + i)(2 - i)} = \frac{(2 - i)^2}{2^2 - i^2} = \frac{4 - 4i + i^2}{4 - (-1)} = \frac{4 - 4i - 1}{4 + 1} = \frac{3 - 4i}{5} = \frac{3}{5} - \frac{4}{5}i $$ Преобразуем второе слагаемое: $$ (i - 1)^2 = i^2 - 2i + 1 = -1 - 2i + 1 = -2i $$ Выполним сложение: $$ \left(\frac{3}{5} - \frac{4}{5}i\right) + (-2i) = \frac{3}{5} - \left(\frac{4}{5} + 2\right)i = \frac{3}{5} - \frac{14}{5}i $$ В виде десятичной дроби: $0{,}6 - 2{,}8i$. Ответ: $\frac{3}{5} - \frac{14}{5}i$ (или $0{,}6 - 2{,}8i$).