ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 50

### 1) Решить неравенство $\cos^2 x > \frac{3}{4}$ Применим формулу понижения степени $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$: $$ \frac{1 + \cos 2x}{2} > \frac{3}{4} $$ Умножим обе части неравенства на $2$: $$ 1 + \cos 2x > \frac{3}{2} $$ $$ \cos 2x > \frac{1}{2} $$ Решим полученное простейшее тригонометрическое неравенство с помощью числовой окружности: $$ -\frac{\pi}{3} + 2\pi k < 2x < \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Разделим все части неравенства на $2$: $$ -\frac{\pi}{6} + \pi k < x < \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ **Ответ:** $x \in \left(-\frac{\pi}{6} + \pi k; \, \frac{\pi}{6} + \pi k\right), \quad k \in \mathbb{Z}$. --- ### 2) Решить неравенство $2\cos^2 x - 3\cos x - 2 > 0$ Сделаем замену переменной: пусть $t = \cos x$, где $-1 \le t \le 1$. Получаем квадратное неравенство: $$ 2t^2 - 3t - 2 > 0 $$ Найдем корни квадратного трехчлена $2t^2 - 3t - 2 = 0$: $$ D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 $$ $$ t_1 = \frac{3 + 5}{4} = 2, \quad t_2 = \frac{3 - 5}{4} = -\frac{1}{2} $$ Разложим левую часть на множители: $$ 2\left(t + \frac{1}{2}\right)(t - 2) > 0 \iff (2t + 1)(t - 2) > 0 $$ Так как $t = \cos x \le 1$, множитель $(t - 2)$ отрицателен при любых значениях $x$ ($t - 2 \le -1 < 0$). Разделим обе части неравенства на $(t - 2) < 0$, меняя знак неравенства на противоположный: $$ 2t + 1 < 0 $$ $$ t < -\frac{1}{2} $$ Вернемся к переменной $x$: $$ \cos x < -\frac{1}{2} $$ На единичной окружности значения косинуса меньше $-\frac{1}{2}$ соответствуют дуге: $$ \frac{2\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{4\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ **Ответ:** $x \in \left(\frac{2\pi}{3} + 2\pi k; \, \frac{4\pi}{3} + 2\pi k\right), \quad k \in \mathbb{Z}$. --- ### 3) Решить неравенство $\sqrt[4]{\frac{7 - \cos 4x}{2}} > -2\cos x$ Преобразуем выражение под знаком корня, выразив $\cos 4x$ через $\cos x$: $$ \cos 4x = 2\cos^2 2x - 1 = 2(2\cos^2 x - 1)^2 - 1 = 8\cos^4 x - 8\cos^2 x + 1 $$ Тогда подкоренное выражение принимает вид: $$ \frac{7 - \cos 4x}{2} = \frac{7 - (8\cos^4 x - 8\cos^2 x + 1)}{2} = \frac{6 + 8\cos^2 x - 8\cos^4 x}{2} = 3 + 4\cos^2 x - 4\cos^4 x $$ Заметим, что так как $-1 \le \cos 4x \le 1$, то: $$ \frac{7 - \cos 4x}{2} \ge \frac{7 - 1}{2} = 3 > 0 $$ Поэтому корень четвертой степени определен при всех $x \in \mathbb{R}$ и его значение строго положительно. Рассмотрим два случая в зависимости от знака правой части неравенства: 1. Пусть $\cos x \ge 0$. Тогда правая часть неравенства $-2\cos x \le 0$. Левая часть строго положительна, следовательно, неравенство верно при всех $\cos x \ge 0$. 2. Пусть $\cos x < 0$. Тогда правая часть $-2\cos x > 0$. Обе части неравенства положительны, возведем их в четвертую степень: $$ 3 + 4\cos^2 x - 4\cos^4 x > (-2\cos x)^4 $$ $$ 3 + 4\cos^2 x - 4\cos^4 x > 16\cos^4 x $$ $$ 20\cos^4 x - 4\cos^2 x - 3 < 0 $$ Пусть $u = \cos^2 x$. Решим квадратное неравенство относительно $u$: $$ 20u^2 - 4u - 3 < 0 $$ Корни уравнения $20u^2 - 4u - 3 = 0$: $$ D_1 = (-2)^2 - 20 \cdot (-3) = 4 + 60 = 64 = 8^2 $$ $$ u_1 = \frac{2 - 8}{20} = -\frac{3}{10}, \quad u_2 = \frac{2 + 8}{20} = \frac{1}{2} $$ Решением неравенства является интервал $-\frac{3}{10} < u < \frac{1}{2}$. Так как $u = \cos^2 x \ge 0$, получаем: $$ 0 \le \cos^2 x < \frac{1}{2} $$ С учетом условия рассматриваемого случая ($\cos x < 0$), извлекаем корень: $$ -\frac{\sqrt{2}}{2} < \cos x < 0 $$ Объединяя результаты первого случая ($\cos x \ge 0$) и второго случая ($-\frac{\sqrt{2}}{2} < \cos x < 0$), получаем: $$ \cos x > -\frac{\sqrt{2}}{2} $$ Решим данное неравенство с помощью числовой окружности: $$ -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ **Ответ:** $x \in \left(-\frac{3\pi}{4} + 2\pi k; \, \frac{3\pi}{4} + 2\pi k\right), \quad k \in \mathbb{Z}$.