ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 461

Для нахождения искомого члена разложения воспользуемся формулой общего члена бинома Ньютона: $$ T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k $$ где $k \in \{0, 1, 2, \dots, n\}$. В данном случае: $a = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$, $b = \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-\frac{1}{2}}$, $n = 10$. Запишем общий член разложения: $$ T_{k+1} = C_{10}^k \left(x^{\frac{1}{2}}\right)^{10-k} \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)^k $$ Упростим выражение, применив свойства степеней: $$ T_{k+1} = C_{10}^k x^{\frac{10-k}{2}} \cdot x^{-\frac{k}{2}} = C_{10}^k x^{\frac{10-k-k}{2}} = C_{10}^k x^{\frac{10-2k}{2}} = C_{10}^k x^{5-k} $$ По условию задачи требуется найти член, содержащий $x^2$. Приравняем показатель степени при $x$ к $2$: $$ 5 - k = 2 $$ $$ k = 3 $$ Таким образом, искомым является четвертый член разложения ($k + 1 = 4$): $$ T_4 = C_{10}^3 x^2 $$ Вычислим биномиальный коэффициент $C_{10}^3$: $$ C_{10}^3 = \frac{10!}{3! \cdot (10 - 3)!} = \frac{10!}{3! \cdot 7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 3 \cdot 4 = 120 $$ Подставим полученное значение коэффициента: $$ T_4 = 120x^2 $$ Ответ: $120x^2$ (четвертый член разложения).