ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 457

1) Дано уравнение: $$ C_x^2 + C_x^3 = 15(x-1) $$ По определению числа сочетаний $C_n^k = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$, переменная $x$ должна удовлетворять условиям: $x \in \mathbb{N}$ и $x \ge 3$. Распишем число сочетаний по формулам: $$ C_x^2 = \frac{x(x-1)}{2}, \quad C_x^3 = \frac{x(x-1)(x-2)}{6} $$ Подставим эти выражения в исходное уравнение: $$ \frac{x(x-1)}{2} + \frac{x(x-1)(x-2)}{6} = 15(x-1) $$ Так как $x \ge 3$, выражение $x - 1 \neq 0$. Разделим обе части уравнения на $(x - 1)$: $$ \frac{x}{2} + \frac{x(x-2)}{6} = 15 $$ Умножим обе части уравнения на $6$: $$ 3x + x(x-2) = 90 $$ Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду: $$ 3x + x^2 - 2x - 90 = 0 $$ $$ x^2 + x - 90 = 0 $$ Найдем корни по теореме Виета: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = -1 \\ x_1 \cdot x_2 = -90 \end{cases} $$ Отсюда: $$ x_1 = 9, \quad x_2 = -10 $$ Корень $x = -10$ не удовлетворяет условию $x \in \mathbb{N}, x \ge 3$. Значит, решением является $x = 9$. Ответ: $9$. --- 2) Дано уравнение: $$ C_{x-1}^3 + C_{x-1}^2 = 15(x-2) $$ По определению числа сочетаний переменная $x$ должна удовлетворять условиям: $x \in \mathbb{N}$ и $x - 1 \ge 3$, то есть $x \ge 4$. Воспользуемся свойством числа сочетаний $C_n^k + C_n^{k-1} = C_{n+1}^k$: $$ C_{x-1}^3 + C_{x-1}^2 = C_x^3 $$ Подставим полученное выражение в уравнение: $$ C_x^3 = 15(x-2) $$ Распишем $C_x^3$ по формуле: $$ \frac{x(x-1)(x-2)}{6} = 15(x-2) $$ Так как $x \ge 4$, то $x - 2 \neq 0$. Разделим обе части уравнения на $(x - 2)$: $$ \frac{x(x-1)}{6} = 15 $$ Умножим обе части на $6$: $$ x(x-1) = 90 $$ $$ x^2 - x - 90 = 0 $$ Найдем корни квадратного уравнения: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = 1 \\ x_1 \cdot x_2 = -90 \end{cases} $$ Отсюда: $$ x_1 = 10, \quad x_2 = -9 $$ Корень $x = -9$ не удовлетворяет условию $x \in \mathbb{N}, x \ge 4$. Значит, решением является $x = 10$. Ответ: $10$.