ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 254

1) $f(x) = 2^x + 2^{-x}$ Область определения функции: $x \in (-\infty; +\infty)$. Найдём производную функции: $$ f'(x) = (2^x)' + (2^{-x})' = 2^x \ln 2 + 2^{-x} \cdot (-x)' \cdot \ln 2 = 2^x \ln 2 - 2^{-x} \ln 2 = \ln 2 \cdot (2^x - 2^{-x}) $$ Так как $\ln 2 > 0$, знак производной определяется знаком выражения $2^x - 2^{-x}$. - Приравняем производную к нулю: $$ f'(x) = 0 \iff 2^x - 2^{-x} = 0 \iff 2^x = 2^{-x} \iff x = -x \iff 2x = 0 \iff x = 0 $$ - Найдём значения $x$, при которых производная положительна: $$ f'(x) > 0 \iff 2^x - 2^{-x} > 0 \iff 2^x > 2^{-x} \iff x > -x \iff x > 0 $$ - Найдём значения $x$, при которых производная отрицательна: $$ f'(x) < 0 \iff 2^x - 2^{-x} < 0 \iff 2^x < 2^{-x} \iff x < -x \iff x < 0 $$ **Ответ:** $f'(x) = 0$ при $x = 0$; $f'(x) > 0$ при $x \in (0; +\infty)$; $f'(x) < 0$ при $x \in (-\infty; 0)$. --- 2) $f(x) = 3^{2x} - 2x \ln 3$ Область определения функции: $x \in (-\infty; +\infty)$. Найдём производную функции: $$ f'(x) = (3^{2x})' - (2x \ln 3)' = 3^{2x} \cdot \ln 3 \cdot (2x)' - 2\ln 3 = 2 \ln 3 \cdot 3^{2x} - 2\ln 3 = 2\ln 3 \cdot (3^{2x} - 1) $$ Так как $2\ln 3 > 0$, знак производной определяется знаком выражения $3^{2x} - 1$. - Приравняем производную к нулю: $$ f'(x) = 0 \iff 3^{2x} - 1 = 0 \iff 3^{2x} = 1 \iff 3^{2x} = 3^0 \iff 2x = 0 \iff x = 0 $$ - Найдём значения $x$, при которых производная положительна: $$ f'(x) > 0 \iff 3^{2x} - 1 > 0 \iff 3^{2x} > 3^0 \iff 2x > 0 \iff x > 0 $$ - Найдём значения $x$, при которых производная отрицательна: $$ f'(x) < 0 \iff 3^{2x} - 1 < 0 \iff 3^{2x} < 3^0 \iff 2x < 0 \iff x < 0 $$ **Ответ:** $f'(x) = 0$ при $x = 0$; $f'(x) > 0$ при $x \in (0; +\infty)$; $f'(x) < 0$ при $x \in (-\infty; 0)$. --- 3) $f(x) = x + \ln 2x$ Область определения функции задаётся условием $2x > 0$, то есть $x > 0$. Найдём производную функции при $x > 0$: $$ f'(x) = (x)' + (\ln 2x)' = 1 + \frac{1}{2x} \cdot (2x)' = 1 + \frac{2}{2x} = 1 + \frac{1}{x} = \frac{x + 1}{x} $$ Исследуем знак полученной дроби с учётом области определения $x > 0$: при $x > 0$ числитель $x + 1 > 1 > 0$, а знаменатель $x > 0$. Следовательно, дробь $\frac{x + 1}{x} > 0$ при всех допустимых значениях $x$. - $f'(x) = 0 \iff x + 1 = 0 \iff x = -1$, но данное значение не входит в область определения $x > 0$. Уравнение корней не имеет. - $f'(x) > 0$ выполняется при всех $x \in (0; +\infty)$. - $f'(x) < 0$ решений не имеет. **Ответ:** $f'(x) = 0$ — решений нет; $f'(x) > 0$ при $x \in (0; +\infty)$; $f'(x) < 0$ — решений нет. --- 4) $f(x) = x + \ln(2x + 1)$ Область определения функции: $2x + 1 > 0 \iff x > -0{,}5$. Найдём производную функции при $x > -0{,}5$: $$ f'(x) = (x)' + (\ln(2x + 1))' = 1 + \frac{1}{2x + 1} \cdot (2x + 1)' = 1 + \frac{2}{2x + 1} = \frac{2x + 1 + 2}{2x + 1} = \frac{2x + 3}{2x + 1} $$ Исследуем полученную дробь на интервале $x > -0{,}5$: знаменатель $2x + 1 > 0$, числитель $2x + 3 > 2 \cdot (-0{,}5) + 3 = 2 > 0$. Значит, дробь положительна на всей области определения. - $f'(x) = 0 \iff 2x + 3 = 0 \iff x = -1{,}5$, не входит в область определения $x > -0{,}5$. Уравнение корней не имеет. - $f'(x) > 0$ выполняется при всех $x \in (-0{,}5; +\infty)$. - $f'(x) < 0$ решений не имеет. **Ответ:** $f'(x) = 0$ — решений нет; $f'(x) > 0$ при $x \in (-0{,}5; +\infty)$; $f'(x) < 0$ — решений нет. --- 5) $f(x) = 6x - x\sqrt{x}$ Область определения функции: $x \ge 0$. Перепишем функцию в виде $f(x) = 6x - x^{\frac{3}{2}}$. Производная существует при $x > 0$: $$ f'(x) = 6 - \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} = 6 - \frac{3}{2}\sqrt{x} $$ - Приравняем производную к нулю: $$ f'(x) = 0 \iff 6 - \frac{3}{2}\sqrt{x} = 0 \iff \frac{3}{2}\sqrt{x} = 6 \iff \sqrt{x} = 4 \iff x = 16 $$ - Найдём значения $x$, при которых производная положительна (с учётом $x > 0$): $$ f'(x) > 0 \iff 6 - \frac{3}{2}\sqrt{x} > 0 \iff \sqrt{x} < 4 \iff 0 < x < 16 $$ - Найдём значения $x$, при которых производная отрицательна: $$ f'(x) < 0 \iff 6 - \frac{3}{2}\sqrt{x} < 0 \iff \sqrt{x} > 4 \iff x > 16 $$ **Ответ:** $f'(x) = 0$ при $x = 16$; $f'(x) > 0$ при $x \in (0; 16)$; $f'(x) < 0$ при $x \in (16; +\infty)$. --- 6) $f(x) = (x+1)\sqrt{x+1} - 3x$ Область определения функции: $x + 1 \ge 0 \iff x \ge -1$. Представим функцию в виде $f(x) = (x + 1)^{\frac{3}{2}} - 3x$. Производная определена при $x > -1$: $$ f'(x) = \left((x + 1)^{\frac{3}{2}}\right)' - (3x)' = \frac{3}{2}(x + 1)^{\frac{1}{2}} \cdot (x + 1)' - 3 = \frac{3}{2}\sqrt{x + 1} - 3 $$ - Приравняем производную к нулю: $$ f'(x) = 0 \iff \frac{3}{2}\sqrt{x + 1} - 3 = 0 \iff \sqrt{x + 1} = 2 \iff x + 1 = 4 \iff x = 3 $$ - Найдём значения $x$, при которых производная положительна: $$ f'(x) > 0 \iff \frac{3}{2}\sqrt{x + 1} - 3 > 0 \iff \sqrt{x + 1} > 2 \iff x + 1 > 4 \iff x > 3 $$ - Найдём значения $x$, при которых производная отрицательна (учитывая область дифференцируемости $x > -1$): $$ f'(x) < 0 \iff \frac{3}{2}\sqrt{x + 1} - 3 < 0 \iff \sqrt{x + 1} < 2 \iff 0 \le x + 1 < 4 \iff -1 < x < 3 $$ **Ответ:** $f'(x) = 0$ при $x = 3$; $f'(x) > 0$ при $x \in (3; +\infty)$; $f'(x) < 0$ при $x \in (-1; 3)$.