ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 253

1) $y = \cos^2 3x$ Применяем правило дифференцирования сложной функции: $$ y' = 2\cos 3x \cdot (\cos 3x)' = 2\cos 3x \cdot (-\sin 3x) \cdot (3x)' $$ $$ y' = 2\cos 3x \cdot (-\sin 3x) \cdot 3 = -3 \cdot (2\sin 3x \cos 3x) = -3\sin 6x $$ Ответ: $y' = -3\sin 6x$. --- 2) $y = \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}$ Дифференцируем внешнюю степенную функцию, затем тангенс и аргумент: $$ y' = 2\operatorname{tg} \frac{x}{2} \cdot \left(\operatorname{tg} \frac{x}{2}\right)' = 2\operatorname{tg} \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}} \cdot \left(\frac{x}{2}\right)' $$ $$ y' = 2\operatorname{tg} \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\operatorname{tg} \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}} $$ Ответ: $y' = \frac{\operatorname{tg} \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}}$. --- 3) $y = \sin(2x^2 - 3x)$ По формуле производной сложной функции $(\sin u)' = \cos u \cdot u'$: $$ y' = \cos(2x^2 - 3x) \cdot (2x^2 - 3x)' = \cos(2x^2 - 3x) \cdot (4x - 3) = (4x - 3)\cos(2x^2 - 3x) $$ Ответ: $y' = (4x - 3)\cos(2x^2 - 3x)$. --- 4) $y = \cos(x + 2x^3)$ По формуле производной сложной функции $(\cos u)' = -\sin u \cdot u'$: $$ y' = -\sin(x + 2x^3) \cdot (x + 2x^3)' = -\sin(x + 2x^3) \cdot (1 + 6x^2) = -(1 + 6x^2)\sin(x + 2x^3) $$ Ответ: $y' = -(1 + 6x^2)\sin(x + 2x^3)$. --- 5) $y = e^{\operatorname{tg} x}$ По формуле производной сложной показательной функции $(e^u)' = e^u \cdot u'$: $$ y' = e^{\operatorname{tg} x} \cdot (\operatorname{tg} x)' = e^{\operatorname{tg} x} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{e^{\operatorname{tg} x}}{\cos^2 x} $$ Ответ: $y' = \frac{e^{\operatorname{tg} x}}{\cos^2 x}$. --- 6) $y = \cos(e^x)$ Дифференцируем косинус от аргумента $e^x$, затем умножаем на производную $e^x$: $$ y' = -\sin(e^x) \cdot (e^x)' = -\sin(e^x) \cdot e^x = -e^x \sin(e^x) $$ Ответ: $y' = -e^x \sin(e^x)$. --- 7) $y = 3^{x^2}$ По формуле производной показательной функции $(a^u)' = a^u \ln a \cdot u'$: $$ y' = 3^{x^2} \ln 3 \cdot (x^2)' = 3^{x^2} \ln 3 \cdot 2x = 2x \cdot 3^{x^2} \ln 3 $$ Ответ: $y' = 2x \cdot 3^{x^2} \ln 3$. --- 8) $y = 2^{\cos x}$ По формуле $(a^u)' = a^u \ln a \cdot u'$: $$ y' = 2^{\cos x} \ln 2 \cdot (\cos x)' = 2^{\cos x} \ln 2 \cdot (-\sin x) = -\sin x \cdot 2^{\cos x} \ln 2 $$ Ответ: $y' = -\sin x \cdot 2^{\cos x} \ln 2$.