ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 149

1) $y = x^2 - 3x - 4$ *Область определения:* Функция представляет собой многочлен, поэтому выражение имеет смысл при любых действительных значениях $x$. $$ D(y) = (-\infty; +\infty) $$ *Множество значений:* График функции — парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $x^2$ равен $a = 1 > 0$). Следовательно, наименьшее значение функция принимает в вершине параболы. Выделим полный квадрат: $$ y = x^2 - 2 \cdot \frac{3}{2}x + \left(\frac{3}{2}\right)^2 - \frac{9}{4} - 4 = \left(x - \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{25}{4} $$ Так как $\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 \ge 0$ при всех $x \in \mathbb{R}$, то: $$ y \ge -\frac{25}{4}, \quad \text{то есть} \quad y \ge -6{,}25 $$ Таким образом, множество значений: $$ E(y) = [-6{,}25; +\infty) $$ 2) $y = 3 - 2x - x^2$ *Область определения:* Функция определена для всех действительных чисел, так как является квадратичной: $$ D(y) = (-\infty; +\infty) $$ *Множество значений:* График функции — парабола с ветвями, направленными вниз ($a = -1 < 0$). Наибольшее значение функции достигается в вершине параболы. Выделим полный квадрат: $$ y = -(x^2 + 2x) + 3 = -(x^2 + 2x + 1) + 1 + 3 = 4 - (x + 1)^2 $$ Так как $-(x + 1)^2 \le 0$ при всех $x \in \mathbb{R}$, то: $$ y \le 4 $$ Множество значений: $$ E(y) = (-\infty; 4] $$ 3) $y = \frac{1}{x - 1}$ *Область определения:* Дробь имеет смысл, если её знаменатель не равен нулю: $$ x - 1 \ne 0 \implies x \ne 1 $$ $$ D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty) $$ *Множество значений:* Дробь с постоянным ненулевым числителем не может быть равна нулю, то есть $y \ne 0$. Выразим $x$ через $y$: $$ x - 1 = \frac{1}{y} \implies x = 1 + \frac{1}{y} $$ Это выражение определено для любого $y \ne 0$. Значит, функция может принимать любые действительные значения, кроме нуля: $$ E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) $$ 4) $y = \frac{2 + x}{x + 1}$ *Область определения:* Знаменатель дроби не должен обращаться в ноль: $$ x + 1 \ne 0 \implies x \ne -1 $$ $$ D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty) $$ *Множество значений:* Выделим целую часть дроби: $$ y = \frac{(x + 1) + 1}{x + 1} = \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{1}{x + 1} = 1 + \frac{1}{x + 1} $$ Так как дробь $\frac{1}{x + 1} \ne 0$ при всех допустимых значениях $x$, то $y \ne 1$. Проверим, выразив $x$ через $y$: $$ y(x + 1) = x + 2 $$ $$ yx + y = x + 2 $$ $$ yx - x = 2 - y $$ $$ x(y - 1) = 2 - y $$ $$ x = \frac{2 - y}{y - 1} $$ Данное равенство имеет смысл для всех $y \ne 1$. Следовательно: $$ E(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty) $$