ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 1126

**1126.** Для нахождения производных применим правило дифференцирования дроби (частного): $$ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $$ 1) Дана функция: $$ y = \frac{3x^2 - 2x + 1}{x + 1} $$ Пусть $u = 3x^2 - 2x + 1$, а $v = x + 1$. Найдем производные числителя и знаменателя: $$ u' = (3x^2 - 2x + 1)' = 6x - 2 $$ $$ v' = (x + 1)' = 1 $$ Применим формулу производной частного: $$ y' = \frac{(6x - 2)(x + 1) - (3x^2 - 2x + 1) \cdot 1}{(x + 1)^2} $$ Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые: $$ y' = \frac{6x^2 + 6x - 2x - 2 - 3x^2 + 2x - 1}{(x + 1)^2} = \frac{3x^2 + 6x - 3}{(x + 1)^2} $$ Вынесем общий множитель $3$ за скобки в числителе: $$ y' = \frac{3(x^2 + 2x - 1)}{(x + 1)^2} $$ Ответ: $y' = \frac{3x^2 + 6x - 3}{(x + 1)^2}$ (или $\frac{3(x^2 + 2x - 1)}{(x + 1)^2}$). --- 2) Дана функция: $$ y = \frac{2x^2 - 3x + 1}{2x + 1} $$ Пусть $u = 2x^2 - 3x + 1$, а $v = 2x + 1$. Найдем производные числителя и знаменателя: $$ u' = (2x^2 - 3x + 1)' = 4x - 3 $$ $$ v' = (2x + 1)' = 2 $$ Применим формулу производной частного: $$ y' = \frac{(4x - 3)(2x + 1) - (2x^2 - 3x + 1) \cdot 2}{(2x + 1)^2} $$ Раскроем скобки в числителе: $$ (4x - 3)(2x + 1) = 8x^2 + 4x - 6x - 3 = 8x^2 - 2x - 3 $$ $$ 2(2x^2 - 3x + 1) = 4x^2 - 6x + 2 $$ Вычтем полученные выражения и приведем подобные слагаемые: $$ y' = \frac{(8x^2 - 2x - 3) - (4x^2 - 6x + 2)}{(2x + 1)^2} = \frac{8x^2 - 2x - 3 - 4x^2 + 6x - 2}{(2x + 1)^2} = \frac{4x^2 + 4x - 5}{(2x + 1)^2} $$ Ответ: $y' = \frac{4x^2 + 4x - 5}{(2x + 1)^2}$.