ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 1118

1) $f(x) = \sin 2x - x$ Найдем производную функции, применив правило дифференцирования сложной функции: $$ f'(x) = (\sin 2x)' - (x)' = \cos 2x \cdot (2x)' - 1 = 2\cos 2x - 1 $$ Приравняем производную к нулю: $$ 2\cos 2x - 1 = 0 $$ $$ 2\cos 2x = 1 $$ $$ \cos 2x = \frac{1}{2} $$ Решим простейшее тригонометрическое уравнение: $$ 2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ $$ x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$. --- 2) $f(x) = \cos 2x + 2x$ Найдем производную функции: $$ f'(x) = (\cos 2x)' + (2x)' = -\sin 2x \cdot (2x)' + 2 = -2\sin 2x + 2 $$ Приравняем производную к нулю: $$ -2\sin 2x + 2 = 0 $$ $$ 2\sin 2x = 2 $$ $$ \sin 2x = 1 $$ Решим простейшее тригонометрическое уравнение: $$ 2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ $$ x = \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$. --- 3) $f(x) = (2x - 1)^3$ Найдем производную сложной степенной функции: $$ f'(x) = 3(2x - 1)^2 \cdot (2x - 1)' = 3(2x - 1)^2 \cdot 2 = 6(2x - 1)^2 $$ Приравняем производную к нулю: $$ 6(2x - 1)^2 = 0 $$ $$ (2x - 1)^2 = 0 $$ $$ 2x - 1 = 0 $$ $$ 2x = 1 $$ $$ x = \frac{1}{2} $$ Ответ: $x = \frac{1}{2}$. --- 4) $f(x) = (1 - 3x)^5$ Найдем производную сложной степенной функции: $$ f'(x) = 5(1 - 3x)^4 \cdot (1 - 3x)' = 5(1 - 3x)^4 \cdot (-3) = -15(1 - 3x)^4 $$ Приравняем производную к нулю: $$ -15(1 - 3x)^4 = 0 $$ $$ (1 - 3x)^4 = 0 $$ $$ 1 - 3x = 0 $$ $$ 3x = 1 $$ $$ x = \frac{1}{3} $$ Ответ: $x = \frac{1}{3}$.