ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 1057

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $$ y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) $$ По условию задачи $f(x) = \sqrt{x^3 + 1}$, $x_0 = 4$. 1. Найдём значение функции в точке $x_0 = 4$: $$ f(4) = \sqrt{4^3 + 1} = \sqrt{64 + 1} = \sqrt{65} $$ 2. Найдём производную функции $f(x)$ по правилу дифференцирования сложной функции: $$ f'(x) = (\sqrt{x^3 + 1})' = \frac{1}{2\sqrt{x^3 + 1}} \cdot (x^3 + 1)' = \frac{3x^2}{2\sqrt{x^3 + 1}} $$ 3. Вычислим значение производной в точке $x_0 = 4$: $$ f'(4) = \frac{3 \cdot 4^2}{2\sqrt{4^3 + 1}} = \frac{3 \cdot 16}{2\sqrt{65}} = \frac{24}{\sqrt{65}} $$ 4. Подставим найденные значения в уравнение касательной: $$ y = \sqrt{65} + \frac{24}{\sqrt{65}}(x - 4) $$ Раскроем скобки и упростим выражение: $$ y = \frac{24}{\sqrt{65}}x - \frac{96}{\sqrt{65}} + \sqrt{65} $$ $$ y = \frac{24}{\sqrt{65}}x + \frac{-96 + 65}{\sqrt{65}} $$ $$ y = \frac{24}{\sqrt{65}}x - \frac{31}{\sqrt{65}} $$ Избавимся от иррациональности в знаменателе дробей: $$ y = \frac{24\sqrt{65}}{65}x - \frac{31\sqrt{65}}{65} $$ Ответ: $y = \frac{24\sqrt{65}}{65}x - \frac{31\sqrt{65}}{65}$ (или $y = \frac{24}{\sqrt{65}}x - \frac{31}{\sqrt{65}}$).