ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 4 - 4.29

1) Найдем производную сложной функции $f(x) = \sqrt{\frac{x-1}{2x-1}}$ по правилу $( \sqrt{u} )' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$: $$ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{2x-1}}} \cdot \left( \frac{x-1}{2x-1} \right)' $$ Вычислим производную подкоренного выражения по правилу дифференцирования дроби: $$ \left( \frac{x-1}{2x-1} \right)' = \frac{(x-1)'(2x-1) - (x-1)(2x-1)'}{(2x-1)^2} = \frac{1 \cdot (2x-1) - (x-1) \cdot 2}{(2x-1)^2} = \frac{2x - 1 - 2x + 2}{(2x-1)^2} = \frac{1}{(2x-1)^2} $$ Подставим полученный результат в выражение для производной: $$ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{2x-1}}} \cdot \frac{1}{(2x-1)^2} $$ Вычислим значение производной в точке $x = 0$: $$ f'(0) = \frac{1}{2\sqrt{\frac{0-1}{2 \cdot 0 - 1}}} \cdot \frac{1}{(2 \cdot 0 - 1)^2} = \frac{1}{2\sqrt{1}} \cdot \frac{1}{(-1)^2} = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2} = 0{,}5 $$ **Ответ к п. 1:** $\frac{1}{2}$ (или $0{,}5$). --- 2) Найдем производную функции $f(x) = \sin^2 \frac{x}{2}$, применяя правило дифференцирования сложной функции: $$ f'(x) = 2 \sin\frac{x}{2} \cdot \left( \sin\frac{x}{2} \right)' = 2 \sin\frac{x}{2} \cdot \cos\frac{x}{2} \cdot \left( \frac{x}{2} \right)' = 2 \sin\frac{x}{2} \cos\frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2} $$ Используя формулу синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin 2\alpha$, преобразуем выражение: $$ f'(x) = \frac{1}{2} \sin\left( 2 \cdot \frac{x}{2} \right) = \frac{1}{2}\sin x $$ Вычислим значение производной при $x = \frac{\pi}{3}$: $$ f'\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} \sin\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} $$ **Ответ к п. 2:** $\frac{\sqrt{3}}{4}$. --- 3) Найдем производную функции $f(x) = (\cos 3x + 6)^3$ как производную сложной функции вида $(u^3)' = 3u^2 \cdot u'$: $$ f'(x) = 3(\cos 3x + 6)^2 \cdot (\cos 3x + 6)' $$ Так как $(\cos 3x + 6)' = -\sin 3x \cdot (3x)' + 0 = -3\sin 3x$, получаем: $$ f'(x) = 3(\cos 3x + 6)^2 \cdot (-3\sin 3x) = -9\sin 3x \cdot (\cos 3x + 6)^2 $$ Вычислим значение производной в точке $x = 0$: $$ f'(0) = -9\sin(3 \cdot 0) \cdot (\cos(3 \cdot 0) + 6)^2 = -9 \cdot 0 \cdot (1 + 6)^2 = 0 $$ **Ответ к п. 3:** $0$.