ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 29 - 29.7

1) Решим неравенство: $$ \frac{4}{x+1} + \frac{2}{1-x} < 1 $$ Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем дробь $\frac{2}{1-x}$ к знаменателю $x-1$: $$ \frac{4}{x+1} - \frac{2}{x-1} - 1 < 0 $$ Приведем дроби к общему знаменателю $(x+1)(x-1)$: $$ \frac{4(x-1) - 2(x+1) - (x^2 - 1)}{(x+1)(x-1)} < 0 $$ Раскроем скобки в числителе: $$ \frac{4x - 4 - 2x - 2 - x^2 + 1}{(x+1)(x-1)} < 0 $$ $$ \frac{-x^2 + 2x - 5}{(x+1)(x-1)} < 0 $$ Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства: $$ \frac{x^2 - 2x + 5}{(x+1)(x-1)} > 0 $$ Рассмотрим числитель $x^2 - 2x + 5$. Дискриминант трехчлена: $$ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16 < 0 $$ Так как старший коэффициент положителен ($a = 1 > 0$) и $D < 0$, выражение $x^2 - 2x + 5 > 0$ при любых действительных значениях $x$. Следовательно, знак дроби зависит только от знаменателя: $$ (x+1)(x-1) > 0 $$ Применим метод интервалов. Корни знаменателя: $x = -1$ и $x = 1$. Знаки на промежутках: на $(-\infty; -1)$ — «$+$», на $(-1; 1)$ — «$-$», на $(1; +\infty)$ — «$+$». Отсюда: $$ x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty) $$ **Ответ:** $(-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$ --- 2) Решим неравенство: $$ |x^2 - 3x| + x - 2 < 0 $$ Уединим модуль: $$ |x^2 - 3x| < 2 - x $$ Неравенство вида $|f(x)| < g(x)$ равносильно системе: $$ \begin{cases} x^2 - 3x < 2 - x \\ x^2 - 3x > -(2 - x) \end{cases} $$ Решим первое неравенство системы: $$ x^2 - 2x - 2 < 0 $$ Корни квадратного уравнения $x^2 - 2x - 2 = 0$: $$ D_1 = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12 $$ $$ x = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3} $$ Решением первого неравенства является интервал: $$ 1 - \sqrt{3} < x < 1 + \sqrt{3} $$ Решим второе неравенство системы: $$ x^2 - 3x > x - 2 $$ $$ x^2 - 4x + 2 > 0 $$ Корни уравнения $x^2 - 4x + 2 = 0$: $$ D_2 = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 16 - 8 = 8 $$ $$ x = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 2 \pm \sqrt{2} $$ Решением второго неравенства является объединение интервалов: $$ x < 2 - \sqrt{2} \quad \text{или} \quad x > 2 + \sqrt{2} $$ Найдем пересечение решений: $$ \begin{cases} 1 - \sqrt{3} < x < 1 + \sqrt{3} \\ x \in (-\infty; 2 - \sqrt{2}) \cup (2 + \sqrt{2}; +\infty) \end{cases} $$ Сравним граничные точки: * $1 - \sqrt{3} \approx 1 - 1{,}73 = -0{,}73$ * $2 - \sqrt{2} \approx 2 - 1{,}41 = 0{,}59$ * $1 + \sqrt{3} \approx 1 + 1{,}73 = 2{,}73$ * $2 + \sqrt{2} \approx 2 + 1{,}41 = 3{,}41$ Точки располагаются в порядке: $1 - \sqrt{3} < 2 - \sqrt{2} < 1 + \sqrt{3} < 2 + \sqrt{2}$. Пересечением системы является интервал $(1 - \sqrt{3}; 2 - \sqrt{2})$. **Ответ:** $(1 - \sqrt{3}; 2 - \sqrt{2})$ --- 3) Решим неравенство: $$ |x^2 + 3x| \ge 2 - x^2 $$ Неравенство вида $|f(x)| \ge g(x)$ равносильно совокупности неравенств: $$ \left[ \begin{array}{l} x^2 + 3x \ge 2 - x^2 \\ x^2 + 3x \le -(2 - x^2) \end{array} \right. $$ Решим первое неравенство совокупности: $$ 2x^2 + 3x - 2 \ge 0 $$ Найдем корни трехчлена $2x^2 + 3x - 2 = 0$: $$ D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 $$ $$ x_1 = \frac{-3 - 5}{4} = -2, \quad x_2 = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{1}{2} $$ Решение первого неравенства: $$ x \le -2 \quad \text{или} \quad x \ge \frac{1}{2} $$ Решим второе неравенство совокупности: $$ x^2 + 3x \le x^2 - 2 $$ $$ 3x \le -2 $$ $$ x \le -\frac{2}{3} $$ Объединим решения обоих неравенств: $$ x \in (-\infty; -2] \cup \left[\frac{1}{2}; +\infty\right) \cup \left(-\infty; -\frac{2}{3}\right] $$ Так как $-2 < -\frac{2}{3}$, луч $(-\infty; -2]$ полностью входит в луч $\left(-\infty; -\frac{2}{3}\right]$. Получаем итоговое решение: $$ x \in \left(-\infty; -\frac{2}{3}\right] \cup \left[\frac{1}{2}; +\infty\right) $$ **Ответ:** $\left(-\infty; -\frac{2}{3}\right] \cup \left[\frac{1}{2}; +\infty\right)$