ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 19 - 19.2

1) Найдем общий вид первообразных для функции $f(x) = x + 3$. По правилам нахождения первообразных: $$ F(x) = \frac{x^{1+1}}{1+1} + 3x + C = \frac{x^2}{2} + 3x + C $$ где $C$ — произвольная постоянная. Ответ: $F(x) = \frac{x^2}{2} + 3x + C$. --- 2) Найдем общий вид первообразных для функции $f(x) = x^2 + 4x - 1$. Используем формулу первообразной степенной функции и правила интегрирования суммы: $$ F(x) = \frac{x^3}{3} + 4 \cdot \frac{x^2}{2} - x + C = \frac{x^3}{3} + 2x^2 - x + C $$ где $C$ — произвольная постоянная. Ответ: $F(x) = \frac{x^3}{3} + 2x^2 - x + C$. --- 3) Преобразуем данную функцию $f(x) = \frac{x^3 + x}{x^2 + 1}$. Вынесем общий множитель $x$ в числителе: $$ f(x) = \frac{x(x^2 + 1)}{x^2 + 1} $$ Так как $x^2 + 1 \neq 0$ при любых действительных $x$, сократим дробь на $(x^2 + 1)$: $$ f(x) = x $$ Найдем общий вид первообразных: $$ F(x) = \frac{x^2}{2} + C $$ где $C$ — произвольная постоянная. Ответ: $F(x) = \frac{x^2}{2} + C$. --- 4) Найдем общий вид первообразных для функции $f(x) = \frac{1}{2} e^x + 2^x \ln 2$. Первообразной для экспоненты $e^x$ является $e^x$. Для показательной функции $2^x$ производная равна $(2^x)' = 2^x \ln 2$, следовательно, первообразной для функции $2^x \ln 2$ является $2^x$: $$ F(x) = \frac{1}{2} e^x + 2^x + C $$ где $C$ — произвольная постоянная. Ответ: $F(x) = \frac{1}{2} e^x + 2^x + C$. --- 5) Найдем общий вид первообразных для функции $f(x) = \frac{9}{\cos^2 x} - 3 \sin x$ на промежутке $\left( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right)$. Используем табличные формулы первообразных: для $\frac{1}{\cos^2 x}$ первообразной является $\operatorname{tg} x$, а для $\sin x$ первообразной является $-\cos x$: $$ F(x) = 9 \operatorname{tg} x - 3 \cdot (-\cos x) + C = 9 \operatorname{tg} x + 3 \cos x + C $$ где $C$ — произвольная постоянная. Ответ: $F(x) = 9 \operatorname{tg} x + 3 \cos x + C$. --- 6) Найдем общий вид первообразных для функции $f(x) = 5\sqrt[4]{x} - \frac{3}{x}$ на промежутке $(0; +\infty)$. Перепишем функцию, используя дробный показатель степени: $$ f(x) = 5x^{\frac{1}{4}} - 3 \cdot \frac{1}{x} $$ Для $x \in (0; +\infty)$ первообразной для $\frac{1}{x}$ является $\ln x$. Применим формулу интегрирования степенной функции: $$ F(x) = 5 \cdot \frac{x^{\frac{1}{4} + 1}}{\frac{1}{4} + 1} - 3 \ln x + C = 5 \cdot \frac{x^{\frac{5}{4}}}{\frac{5}{4}} - 3 \ln x + C = 5 \cdot \frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}} - 3 \ln x + C = 4x^{\frac{5}{4}} - 3 \ln x + C $$ Записав в виде корня: $$ F(x) = 4\sqrt[4]{x^5} - 3 \ln x + C = 4x\sqrt[4]{x} - 3 \ln x + C $$ где $C$ — произвольная постоянная. Ответ: $F(x) = 4x\sqrt[4]{x} - 3 \ln x + C$ (или $F(x) = 4x^{\frac{5}{4}} - 3 \ln x + C$). --- 7) Найдем общий вид первообразных для функции $f(x) = 6x^2 - \frac{2}{x^2}$ на промежутке $(0; +\infty)$. Запишем второе слагаемое в виде степени с отрицательным показателем: $$ f(x) = 6x^2 - 2x^{-2} $$ Находим первообразную по правилу интегрирования степенной функции: $$ F(x) = 6 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} - 2 \cdot \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + C = 6 \cdot \frac{x^3}{3} - 2 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} + C = 2x^3 + 2x^{-1} + C = 2x^3 + \frac{2}{x} + C $$ где $C$ — произвольная постоянная. Ответ: $F(x) = 2x^3 + \frac{2}{x} + C$. --- 8) Найдем общий вид первообразных для функции $f(x) = \frac{9}{x^{10}} + \frac{8}{x^9}$ на промежутке $(-\infty; 0)$. Запишем функцию в виде степеней с отрицательными показателями: $$ f(x) = 9x^{-10} + 8x^{-9} $$ Применяем формулу для степенной функции: $$ F(x) = 9 \cdot \frac{x^{-10+1}}{-10+1} + 8 \cdot \frac{x^{-9+1}}{-9+1} + C = 9 \cdot \frac{x^{-9}}{-9} + 8 \cdot \frac{x^{-8}}{-8} + C = -x^{-9} - x^{-8} + C = -\frac{1}{x^9} - \frac{1}{x^8} + C $$ где $C$ — произвольная постоянная. Ответ: $F(x) = -\frac{1}{x^9} - \frac{1}{x^8} + C$.