ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 19 - 19.1

1) Функция: $f(x) = 4 - 2x$. Используем правила нахождения первообразных суммы и табличные формулы для константы и степенной функции: $$ F(x) = 4x - 2 \cdot \frac{x^2}{2} + C = 4x - x^2 + C, $$ где $C$ — произвольная постоянная. **Ответ:** $F(x) = 4x - x^2 + C$. --- 2) Функция: $f(x) = 3x^2 - x + 5$. Применяем правило интегрирования многочлена: $$ F(x) = 3 \cdot \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 5x + C = x^3 - \frac{x^2}{2} + 5x + C, $$ где $C$ — произвольная постоянная. **Ответ:** $F(x) = x^3 - \frac{x^2}{2} + 5x + C$. --- 3) Функция: $f(x) = 5\sin x + \cos x$. Так как первообразной для $\sin x$ является $-\cos x$, а для $\cos x$ — $\sin x$: $$ F(x) = 5 \cdot (-\cos x) + \sin x + C = -5\cos x + \sin x + C, $$ где $C$ — произвольная постоянная. **Ответ:** $F(x) = -5\cos x + \sin x + C$. --- 4) Функция: $f(x) = x^3(2 - x^2)$. Раскроем скобки: $$ f(x) = 2x^3 - x^5. $$ Находим общий вид первообразных: $$ F(x) = 2 \cdot \frac{x^4}{4} - \frac{x^6}{6} + C = \frac{x^4}{2} - \frac{x^6}{6} + C, $$ где $C$ — произвольная постоянная. **Ответ:** $F(x) = \frac{x^4}{2} - \frac{x^6}{6} + C$. --- 5) Функция: $f(x) = 5e^x - 2 \cdot 3^x$. Используем формулы первообразных показательных функций $\int e^x\,dx = e^x + C$ и $\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$: $$ F(x) = 5e^x - 2 \cdot \frac{3^x}{\ln 3} + C = 5e^x - \frac{2 \cdot 3^x}{\ln 3} + C, $$ где $C$ — произвольная постоянная. **Ответ:** $F(x) = 5e^x - \frac{2 \cdot 3^x}{\ln 3} + C$. --- 6) Функция: $f(x) = \frac{6}{x} - x^3$ на промежутке $(-\infty; 0)$. Первообразная функции $\frac{1}{x}$ на промежутке, не содержащем точку $0$, имеет вид $\ln|x|$. Для $x \in (-\infty; 0)$ значение $|x| = -x$: $$ F(x) = 6\ln|x| - \frac{x^4}{4} + C = 6\ln(-x) - \frac{x^4}{4} + C, $$ где $C$ — произвольная постоянная. **Ответ:** $F(x) = 6\ln(-x) - \frac{x^4}{4} + C$ (или $F(x) = 6\ln|x| - \frac{x^4}{4} + C$). --- 7) Функция: $f(x) = \frac{9}{\sin^2 x} + \frac{x^4}{4}$ на промежутке $(0; \pi)$. Так как первообразной для $\frac{1}{\sin^2 x}$ является $-\operatorname{ctg} x$, получаем: $$ F(x) = 9 \cdot (-\operatorname{ctg} x) + \frac{1}{4} \cdot \frac{x^5}{5} + C = -9\operatorname{ctg} x + \frac{x^5}{20} + C, $$ где $C$ — произвольная постоянная. **Ответ:** $F(x) = -9\operatorname{ctg} x + \frac{x^5}{20} + C$. --- 8) Функция: $f(x) = \frac{4}{\sqrt{x}} + x^3$ на промежутке $(0; +\infty)$. Запишем корень в виде степени: $\frac{4}{\sqrt{x}} = 4x^{-\frac{1}{2}}$. Тогда: $$ F(x) = 4 \cdot \frac{x^{-\frac{1}{2} + 1}}{-\frac{1}{2} + 1} + \frac{x^4}{4} + C = 4 \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + \frac{x^4}{4} + C = 8\sqrt{x} + \frac{x^4}{4} + C, $$ где $C$ — произвольная постоянная. **Ответ:** $F(x) = 8\sqrt{x} + \frac{x^4}{4} + C$. --- 9) Функция: $f(x) = \frac{1}{x^3} + \frac{3}{x^4}$ на промежутке $(-\infty; 0)$. Запишем функцию в виде суммы степеней: $f(x) = x^{-3} + 3x^{-4}$. Находим первообразную: $$ F(x) = \frac{x^{-3+1}}{-3+1} + 3 \cdot \frac{x^{-4+1}}{-4+1} + C = \frac{x^{-2}}{-2} + 3 \cdot \frac{x^{-3}}{-3} + C = -\frac{1}{2x^2} - \frac{1}{x^3} + C, $$ где $C$ — произвольная постоянная. **Ответ:** $F(x) = -\frac{1}{2x^2} - \frac{1}{x^3} + C$. --- 10) Функция: $f(x) = \sqrt{x} - \frac{6}{x^5}$ на промежутке $(0; +\infty)$. Перепишем функцию в степенном виде: $f(x) = x^{\frac{1}{2}} - 6x^{-5}$. Интегрируем: $$ F(x) = \frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} - 6 \cdot \frac{x^{-5+1}}{-5+1} + C = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} - 6 \cdot \frac{x^{-4}}{-4} + C = \frac{2}{3}x\sqrt{x} + \frac{3}{2x^4} + C, $$ где $C$ — произвольная постоянная. **Ответ:** $F(x) = \frac{2}{3}x\sqrt{x} + \frac{3}{2x^4} + C$.