ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 18 - 18.2

По определению, функция $F$ называется первообразной для функции $f$ на промежутке $I$, если для любого $x \in I$ выполняется равенство: $$ F'(x) = f(x) $$ 1) $F(x) = x^4 - 2x^2 + 6$, $f(x) = 4x^3 - 4x$, $I = (-\infty; +\infty)$. Найдем производную функции $F(x)$ по правилам дифференцирования: $$ F'(x) = (x^4 - 2x^2 + 6)' = (x^4)' - 2(x^2)' + (6)' = 4x^3 - 2 \cdot 2x + 0 = 4x^3 - 4x $$ Так как для всех $x \in (-\infty; +\infty)$ справедливо равенство $F'(x) = f(x)$, то функция $F$ является первообразной функции $f$ на промежутке $I = (-\infty; +\infty)$, что и требовалось доказать. 2) $F(x) = \frac{1}{x^3}$, $f(x) = -\frac{3}{x^4}$, $I = (-\infty; 0)$. Запишем функцию $F(x)$ в виде степени с отрицательным показателем: $F(x) = x^{-3}$. Найдем производную: $$ F'(x) = (x^{-3})' = -3x^{-3 - 1} = -3x^{-4} = -\frac{3}{x^4} $$ Равенство $F'(x) = f(x)$ выполняется для всех $x \in (-\infty; 0)$, следовательно, функция $F$ является первообразной функции $f$ на промежутке $I = (-\infty; 0)$, что и требовалось доказать. 3) $F(x) = 5 - 3\sqrt{x}$, $f(x) = -\frac{3}{2\sqrt{x}}$, $I = (0; +\infty)$. Найдем производную функции $F(x)$: $$ F'(x) = (5 - 3\sqrt{x})' = (5)' - 3(\sqrt{x})' = 0 - 3 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = -\frac{3}{2\sqrt{x}} $$ Равенство $F'(x) = f(x)$ выполняется для всех $x \in (0; +\infty)$, следовательно, функция $F$ является первообразной функции $f$ на промежутке $I = (0; +\infty)$, что и требовалось доказать. 4) $F(x) = 3\operatorname{tg}\left(\frac{x}{3}\right) + 6$, $f(x) = \frac{1}{\cos^2\left(\frac{x}{3}\right)}$, $I = \left(-\frac{3\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right)$. Если $x \in \left(-\frac{3\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right)$, то аргумент $\frac{x}{3} \in \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$, где косинус не обращается в ноль, а тангенс определен и дифференцируем. Найдем производную функции $F(x)$ как производную сложной функции: $$ F'(x) = \left(3\operatorname{tg}\left(\frac{x}{3}\right) + 6\right)' = 3 \cdot \frac{1}{\cos^2\left(\frac{x}{3}\right)} \cdot \left(\frac{x}{3}\right)' + 0 = 3 \cdot \frac{1}{\cos^2\left(\frac{x}{3}\right)} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{\cos^2\left(\frac{x}{3}\right)} $$ Так как для всех $x \in \left(-\frac{3\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right)$ верно равенство $F'(x) = f(x)$, то функция $F$ является первообразной функции $f$ на промежутке $I = \left(-\frac{3\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right)$, что и требовалось доказать.