ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 18 - 18.1

Функция $F$ называется первообразной для функции $f$ на некотором промежутке, если для всех $x$ из этого промежутка выполняется равенство $F'(x) = f(x)$. 1) $F(x) = 3x^2 + x - 2$, $f(x) = 6x + 1$. Найдём производную функции $F(x)$: $$ F'(x) = (3x^2 + x - 2)' = 3 \cdot 2x + 1 - 0 = 6x + 1 $$ Так как $F'(x) = f(x)$ для всех $x \in (-\infty; +\infty)$, функция $F$ является первообразной функции $f$. **Ответ:** Да. --- 2) $F(x) = x^{-4}$, $f(x) = -4x^{-5}$ на промежутке $(0; +\infty)$. Найдём производную функции $F(x)$: $$ F'(x) = (x^{-4})' = -4x^{-4 - 1} = -4x^{-5} $$ Так как $F'(x) = f(x)$ для всех $x \in (0; +\infty)$, функция $F$ является первообразной функции $f$ на данном промежутке. **Ответ:** Да. --- 3) $F(x) = \sin x + 3$, $f(x) = \cos x + 3$. Найдём производную функции $F(x)$: $$ F'(x) = (\sin x + 3)' = \cos x + 0 = \cos x $$ Так как $F'(x) \neq f(x)$ ($\cos x \neq \cos x + 3$), функция $F$ не является первообразной функции $f$. **Ответ:** Нет. --- 4) $F(x) = \cos 2x$, $f(x) = -\sin 2x$. Найдём производную сложной функции $F(x)$: $$ F'(x) = (\cos 2x)' = -\sin 2x \cdot (2x)' = -2\sin 2x $$ Так как $F'(x) \neq f(x)$ ($-2\sin 2x \neq -\sin 2x$), функция $F$ не является первообразной функции $f$. **Ответ:** Нет. --- 5) $F(x) = \sqrt{2x + 1}$, $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2x + 1}}$ на промежутке $\left(-\frac{1}{2}; +\infty\right)$. Найдём производную сложной функции $F(x)$: $$ F'(x) = (\sqrt{2x + 1})' = \frac{1}{2\sqrt{2x + 1}} \cdot (2x + 1)' = \frac{2}{2\sqrt{2x + 1}} = \frac{1}{\sqrt{2x + 1}} $$ Так как $F'(x) = f(x)$ для всех $x \in \left(-\frac{1}{2}; +\infty\right)$, функция $F$ является первообразной функции $f$ на данном промежутке. **Ответ:** Да. --- 6) $F(x) = 5^x$, $f(x) = 5^x \ln 5$. Найдём производную показательной функции $F(x)$: $$ F'(x) = (5^x)' = 5^x \ln 5 $$ Так как $F'(x) = f(x)$ для всех $x \in (-\infty; +\infty)$, функция $F$ является первообразной функции $f$. **Ответ:** Да.