ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень ответы на вопросы - §13

1. Логарифмом положительного числа $b$ по основанию $a$, где $a > 0$ и $a \neq 1$, называют показатель степени, в которую нужно возвести число $a$, чтобы получить число $b$. Обозначение: $\log_a b$. По определению: равенство $\log_a b = c$ означает, что $a^c = b$ (при $a > 0$, $a \neq 1$, $b > 0$). 2. Основным логарифмическим тождеством называют равенство: $$ a^{\log_a b} = b $$ где $a > 0$, $a \neq 1$, $b > 0$. 3. Десятичным логарифмом называют логарифм по основанию $10$. Вместо $\log_{10} b$ используют краткую запись $\lg b$. 4. Основные свойства логарифмов (при условии, что $a > 0$, $a \neq 1$, $b > 0$, $c > 0$, а $\beta$ — любое действительное число): * Логарифм единицы равен нулю: $$ \log_a 1 = 0 $$ * Логарифм самого основания равен единице: $$ \log_a a = 1 $$ * **Логарифм произведения:** логарифм произведения положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел: $$ \log_a (bc) = \log_a b + \log_a c $$ * **Логарифм частного:** логарифм частного положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя: $$ \log_a \frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c $$ * **Логарифм степени:** логарифм степени положительного числа равен произведению показателя степени на логарифм её основания: $$ \log_a b^\beta = \beta \log_a b $$ * **Формула перехода к новому основанию:** для любого $c > 0$ и $c \neq 1$ выполняется равенство: $$ \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} $$ Следствия из формулы перехода к новому основанию: * При $b \neq 1$: $$ \log_a b = \frac{1}{\log_b a} $$ * При $\beta \neq 0$: $$ \log_{a^\beta} b = \frac{1}{\beta} \log_a b $$