ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 10 - 10.2

1) $5^{(\sqrt{3} - 1)^2} \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^{2\sqrt{3}}$ Упростим показатель степени первого множителя, применив формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$: $$ (\sqrt{3} - 1)^2 = (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1 + 1^2 = 3 - 2\sqrt{3} + 1 = 4 - 2\sqrt{3} $$ Представим основание второго множителя в виде степени с основанием $5$, используя свойство $\frac{1}{a} = a^{-1}$: $$ \left(\frac{1}{5}\right)^{2\sqrt{3}} = \left(5^{-1}\right)^{2\sqrt{3}} = 5^{-2\sqrt{3}} $$ При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются: $$ 5^{(\sqrt{3} - 1)^2} \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^{2\sqrt{3}} = 5^{4 - 2\sqrt{3}} \cdot 5^{-2\sqrt{3}} = 5^{(4 - 2\sqrt{3}) + (-2\sqrt{3})} = 5^{4 - 4\sqrt{3}} $$ *(Примечание: если в условии опечатка и между степенями стоит знак деления, то $5^{4 - 2\sqrt{3}} : 5^{-2\sqrt{3}} = 5^{(4 - 2\sqrt{3}) - (-2\sqrt{3})} = 5^4 = 625$)*. Ответ: $5^{4 - 4\sqrt{3}}$ (при делении: $625$). 2) $\left((\sqrt{2})^{\sqrt{6}}\right)^{\sqrt{6}}$ При возведении степени в степень показатели перемножаются: $\left(a^m\right)^n = a^{m \cdot n}$. $$ \left((\sqrt{2})^{\sqrt{6}}\right)^{\sqrt{6}} = (\sqrt{2})^{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = (\sqrt{2})^6 $$ Запишем корень как степень с дробным показателем $\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$ и вычислим: $$ (\sqrt{2})^6 = \left(2^{\frac{1}{2}}\right)^6 = 2^{\frac{1}{2} \cdot 6} = 2^3 = 8 $$ Ответ: $8$. 3) $\left((\sqrt[5]{10})^{\sqrt{5}}\right)^{-2\sqrt{5}}$ Используем свойство возведения степени в степень и перемножим показатели: $$ \sqrt{5} \cdot (-2\sqrt{5}) = -2 \cdot (\sqrt{5})^2 = -2 \cdot 5 = -10 $$ Получаем: $$ \left((\sqrt[5]{10})^{\sqrt{5}}\right)^{-2\sqrt{5}} = (\sqrt[5]{10})^{-10} $$ Представим $\sqrt[5]{10}$ как $10^{\frac{1}{5}}$: $$ (\sqrt[5]{10})^{-10} = \left(10^{\frac{1}{5}}\right)^{-10} = 10^{\frac{1}{5} \cdot (-10)} = 10^{-2} = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100} = 0{,}01 $$ Ответ: $0{,}01$.