ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 10 - 10.1

1) Используем формулу квадрата суммы и свойство частного степеней с одинаковыми основаниями: Раскроем скобки в показателе первой степени: $$ (\sqrt{2} + 1)^2 = (\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2} + 1 = 2 + 2\sqrt{2} + 1 = 3 + 2\sqrt{2} $$ Тогда: $$ 3^{(\sqrt{2} + 1)^2} : 3^{2\sqrt{2}} = 3^{3 + 2\sqrt{2}} : 3^{2\sqrt{2}} = 3^{(3 + 2\sqrt{2}) - 2\sqrt{2}} = 3^3 = 27 $$ 2) При возведении степени в степень показатели перемножаются: $$ \left((3\sqrt[3]{7})^{\sqrt{3}}\right)^{\sqrt{3}} = (3\sqrt[3]{7})^{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = (3\sqrt[3]{7})^3 $$ Возведем каждый множитель в куб: $$ 3^3 \cdot (\sqrt[3]{7})^3 = 27 \cdot 7 = 189 $$ 3) Сначала упростим подкоренное выражение. Раскроем квадрат в показателе первой степени: $$ (\sqrt{5} + 1)^2 = (\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{5} + 1 = 5 + 2\sqrt{5} + 1 = 6 + 2\sqrt{5} $$ Представим $36$ в виде степени с основанием $6$: $$ 36^{-\sqrt{5}} = (6^2)^{-\sqrt{5}} = 6^{-2\sqrt{5}} $$ Выполним умножение степеней под корнем: $$ 6^{(\sqrt{5} + 1)^2} \cdot 36^{-\sqrt{5}} = 6^{6 + 2\sqrt{5}} \cdot 6^{-2\sqrt{5}} = 6^{(6 + 2\sqrt{5}) + (-2\sqrt{5})} = 6^6 $$ Извлечем корень кубический: $$ \sqrt[3]{6^6} = 6^{\frac{6}{3}} = 6^2 = 36 $$ 4) При возведении степени в степень перемножим показатели: $$ \sqrt{2} \cdot (-\sqrt{8}) = -\sqrt{2 \cdot 8} = -\sqrt{16} = -4 $$ Тогда: $$ \left(\left(\frac{1}{2}\right)^{\sqrt{2}}\right)^{-\sqrt{8}} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-4} = 2^4 = 16 $$ Ответ: 1) $27$; 2) $189$; 3) $36$; 4) $16$.