ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 1 - 1.2

**1)** $f(x) = 2x + 1$, $x_0 = 1$. Графиком функции $y = 2x + 1$ является прямая, проходящая, например, через точки $(0; 1)$ и $(1; 3)$. По графику видно, что при стремлении значений аргумента $x$ к числу $1$ как слева, так и справа, соответствующие значения функции $f(x)$ стремятся к числу $3$: $$ \lim_{x \to 1} (2x + 1) = 2 \cdot 1 + 1 = 3 $$ Функция имеет предел в точке $x_0 = 1$, равный $3$. --- **2)** $f(x) = 2x + 1$, $x_0 = -2$. Графиком функции является та же прямая $y = 2x + 1$, проходящая через точку $(-2; -3)$. По графику видно, что при $x \to -2$ значения функции стремятся к числу $-3$: $$ \lim_{x \to -2} (2x + 1) = 2 \cdot (-2) + 1 = -3 $$ Функция имеет предел в точке $x_0 = -2$, равный $-3$. --- **3)** $f(x) = \dfrac{x^2 - 9}{x + 3}$, $x_0 = -1$. Область определения функции: $x + 3 \neq 0$, то есть $x \neq -3$. Упростим формулу при $x \neq -3$: $$ f(x) = \frac{(x - 3)(x + 3)}{x + 3} = x - 3 $$ График данной функции представляет собой прямую $y = x - 3$ с выколотой точкой $(-3; -6)$. Точка $x_0 = -1$ принадлежит области определения. По графику видно, что при приближении $x$ к $-1$ значения функции стремятся к числу $-4$: $$ \lim_{x \to -1} \frac{x^2 - 9}{x + 3} = \lim_{x \to -1} (x - 3) = -1 - 3 = -4 $$ Функция имеет предел в точке $x_0 = -1$, равный $-4$. --- **4)** $f(x) = \dfrac{x^2 - 9}{x + 3}$, $x_0 = -3$. График функции — прямая $y = x - 3$ с выколотой точкой $(-3; -6)$. Хотя функция не определена в точке $x_0 = -3$, по графику видно, что при стремлении аргумента $x$ к числу $-3$ (как слева, так и справа) значения функции неограниченно приближаются к ординате выколотой точки, то есть к числу $-6$: $$ \lim_{x \to -3} \frac{x^2 - 9}{x + 3} = \lim_{x \to -3} (x - 3) = -3 - 3 = -6 $$ Функция имеет предел в точке $x_0 = -3$, равный $-6$. --- **5)** $f(x) = \dfrac{|x - 1|}{x - 1}$, $x_0 = 2$. Область определения функции: $x \neq 1$. Раскроем модуль: $$ f(x) = \begin{cases} \dfrac{x - 1}{x - 1} = 1, & \text{если } x > 1, \\ \dfrac{-(x - 1)}{x - 1} = -1, & \text{если } x < 1. \end{cases} $$ График состоит из двух горизонтальных лучей: прямой $y = 1$ при $x > 1$ и прямой $y = -1$ при $x < 1$ (точки $(1; 1)$ и $(1; -1)$ выколоты). В окрестности точки $x_0 = 2$ (при $x > 1$) значения функции постоянны и равны $1$. Следовательно, при $x \to 2$ значения функции стремятся к $1$: $$ \lim_{x \to 2} \frac{|x - 1|}{x - 1} = 1 $$ Функция имеет предел в точке $x_0 = 2$, равный $1$. --- **6)** $f(x) = \dfrac{|x - 1|}{x - 1}$, $x_0 = 1$. График тот же: луч $y = -1$ при $x < 1$ и луч $y = 1$ при $x > 1$. Рассмотрим поведение функции при приближении к точке $x_0 = 1$: - при стремлении $x$ к $1$ слева ($x < 1$) значения функции равны $-1$; - при стремлении $x$ к $1$ справа ($x > 1$) значения функции равны $1$. Так как левосторонний и правосторонний пределы не совпадают (на графике происходит скачок от $-1$ до $1$): $$ \lim_{x \to 1^-} f(x) = -1 \neq \lim_{x \to 1^+} f(x) = 1 $$ Функция не имеет предела в точке $x_0 = 1$. --- **Ответ:** 1) имеет предел, равный $3$; 2) имеет предел, равный $-3$; 3) имеет предел, равный $-4$; 4) имеет предел, равный $-6$; 5) имеет предел, равный $1$; 6) не имеет предела.