ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Ершова самостоятельные и контрольные работы самостоятельные работы / С-54. вариант - Б2

### 1. Представление комплексных чисел в тригонометрической форме Тригонометрическая форма комплексного числа имеет вид: $$ z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi) $$ где модуль $r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}$, а аргумент $\varphi$ определяется из соотношений $\cos \varphi = \frac{a}{r}$, $\sin \varphi = \frac{b}{r}$. #### Вариант Б1 **а)** $z = -2 - 2i$ Здесь $a = -2$, $b = -2$. 1. Найдём модуль числа: $$ r = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} $$ 2. Найдём аргумент $\varphi$: $$ \cos \varphi = \frac{-2}{2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin \varphi = \frac{-2}{2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} $$ Так как обе координаты отрицательны, точка лежит в III четверти: $$ \varphi = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} $$ Ответ: $z = 2\sqrt{2} \left( \cos \frac{5\pi}{4} + i \sin \frac{5\pi}{4} \right)$. **б)** $z = -\cos \frac{\pi}{6} - i \sin \frac{\pi}{6}$ Модуль числа $r = 1$. Приведём знаки к стандартному виду с помощью формул приведения для III четверти: $-\cos \alpha = \cos(\pi + \alpha)$, $-\sin \alpha = \sin(\pi + \alpha)$. $$ \varphi = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6} $$ Ответ: $z = \cos \frac{7\pi}{6} + i \sin \frac{7\pi}{6}$. --- #### Вариант Б2 **а)** $z = \sqrt{3} - i$ Здесь $a = \sqrt{3}$, $b = -1$. 1. Найдём модуль числа: $$ r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2 $$ 2. Найдём аргумент $\varphi$: $$ \cos \varphi = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin \varphi = -\frac{1}{2} $$ Точка лежит в IV четверти: $\varphi = -\frac{\pi}{6}$ (или $\frac{11\pi}{6}$). Ответ: $z = 2 \left( \cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) \right) = 2 \left( \cos \frac{11\pi}{6} + i \sin \frac{11\pi}{6} \right)$. **б)** $z = -\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}$ Модуль числа $r = 1$. Приведём знаки к стандартному виду с помощью формул приведения для II четверти: $-\cos \alpha = \cos(\pi - \alpha)$, $\sin \alpha = \sin(\pi - \alpha)$. $$ \varphi = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} $$ Ответ: $z = \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3}$. --- ### 2. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме При умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются: $$ z_1 \cdot z_2 = r_1 r_2 (\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 + \varphi_2)) $$ При делении модуль делимого делится на модуль делителя, а аргумент делителя вычитается из аргумента делимого: $$ \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} (\cos(\varphi_1 - \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 - \varphi_2)) $$ **a)** $3 \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right) \cdot 2i$ Представим $2i$ в тригонометрической форме: $2i = 2 \left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right)$. $$ r = 3 \cdot 2 = 6, \quad \varphi = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{4} $$ Ответ: $6 \left( \cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4} \right)$. **b)** $2 \left( \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} \right) \cdot (-3i)$ Представим $-3i$ в тригонометрической форме: $-3i = 3 \left( \cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) \right)$. $$ r = 2 \cdot 3 = 6, \quad \varphi = \frac{\pi}{6} + \left(-\frac{\pi}{2}\right) = -\frac{\pi}{3} $$ Ответ: $6 \left( \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) \right) = 6 \left( \cos \frac{5\pi}{3} + i \sin \frac{5\pi}{3} \right)$. **c)** $\frac{\sqrt{20} (\cos 18^\circ + i \sin 18^\circ)}{\sqrt{5} (\cos 48^\circ + i \sin 48^\circ)}$ $$ r = \frac{\sqrt{20}}{\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{20}{5}} = \sqrt{4} = 2 $$ $$ \varphi = 18^\circ - 48^\circ = -30^\circ $$ Ответ: $2(\cos(-30^\circ) + i \sin(-30^\circ)) = 2(\cos 330^\circ + i \sin 330^\circ)$. **d)** $\frac{\sqrt{18} (\cos 4^\circ + i \sin 4^\circ)}{\sqrt{2} (\cos 64^\circ + i \sin 64^\circ)}$ $$ r = \frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{18}{2}} = \sqrt{9} = 3 $$ $$ \varphi = 4^\circ - 64^\circ = -60^\circ $$ Ответ: $3(\cos(-60^\circ) + i \sin(-60^\circ)) = 3(\cos 300^\circ + i \sin 300^\circ)$. --- ### 3. Вычисление по формуле Муавра Формула Муавра для возведения в степень: $$ z^n = r^n (\cos(n\varphi) + i \sin(n\varphi)) $$ Формула для извлечения корней $n$-й степени: $$ w_k = \sqrt[n]{r} \left( \cos \frac{\varphi + 2\pi k}{n} + i \sin \frac{\varphi + 2\pi k}{n} \right), \quad k = 0, 1, \dots, n-1 $$ #### Вариант Б1 **a)** $(1 - \sqrt{3}i)^9$ Для числа $z = 1 - \sqrt{3}i$: $$ r = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = 2, \quad \cos \varphi = \frac{1}{2}, \quad \sin \varphi = -\frac{\sqrt{3}}{2} \implies \varphi = -\frac{\pi}{3} $$ По формуле Муавра: $$ (1 - \sqrt{3}i)^9 = 2^9 \left( \cos\left(9 \cdot \left(-\frac{\pi}{3}\right)\right) + i \sin\left(9 \cdot \left(-\frac{\pi}{3}\right)\right) \right) = 512 (\cos(-3\pi) + i \sin(-3\pi)) $$ Так как $\cos(-3\pi) = -1$, а $\sin(-3\pi) = 0$: $$ 512(-1 + 0i) = -512 $$ Ответ: $-512$. **b)** $\sqrt[4]{-4}$ Запишем число $-4$ в тригонометрической форме: $-4 = 4(\cos \pi + i \sin \pi)$. $$ w_k = \sqrt[4]{4} \left( \cos \frac{\pi + 2\pi k}{4} + i \sin \frac{\pi + 2\pi k}{4} \right) = \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi + 2\pi k}{4} + i \sin \frac{\pi + 2\pi k}{4} \right), \quad k = 0, 1, 2, 3 $$ 1. При $k = 0$: $$ w_0 = \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = 1 + i $$ 2. При $k = 1$: $$ w_1 = \sqrt{2} \left( \cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4} \right) = \sqrt{2} \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = -1 + i $$ 3. При $k = 2$: $$ w_2 = \sqrt{2} \left( \cos \frac{5\pi}{4} + i \sin \frac{5\pi}{4} \right) = \sqrt{2} \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} - i \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = -1 - i $$ 4. При $k = 3$: $$ w_3 = \sqrt{2} \left( \cos \frac{7\pi}{4} + i \sin \frac{7\pi}{4} \right) = \sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} - i \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = 1 - i $$ Ответ: $1 + i$, $-1 + i$, $-1 - i$, $1 - i$ (или $\pm 1 \pm i$). --- #### Вариант Б2 **a)** $(-1 + i)^{10}$ Для числа $z = -1 + i$: $$ r = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}, \quad \cos \varphi = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin \varphi = \frac{\sqrt{2}}{2} \implies \varphi = \frac{3\pi}{4} $$ По формуле Муавра: $$ (-1 + i)^{10} = (\sqrt{2})^{10} \left( \cos\left(10 \cdot \frac{3\pi}{4}\right) + i \sin\left(10 \cdot \frac{3\pi}{4}\right) \right) = 2^5 \left( \cos \frac{15\pi}{2} + i \sin \frac{15\pi}{2} \right) $$ Преобразуем аргумент: $\frac{15\pi}{2} = 6\pi + \frac{3\pi}{2}$, откуда $\cos \frac{3\pi}{2} = 0$, $\sin \frac{3\pi}{2} = -1$. $$ 32(0 - i) = -32i $$ Ответ: $-32i$. **b)** $\sqrt[3]{-8}$ Запишем число $-8$ в тригонометрической форме: $-8 = 8(\cos \pi + i \sin \pi)$. $$ w_k = \sqrt[3]{8} \left( \cos \frac{\pi + 2\pi k}{3} + i \sin \frac{\pi + 2\pi k}{3} \right) = 2 \left( \cos \frac{\pi + 2\pi k}{3} + i \sin \frac{\pi + 2\pi k}{3} \right), \quad k = 0, 1, 2 $$ 1. При $k = 0$: $$ w_0 = 2 \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right) = 2 \left( \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 1 + \sqrt{3}i $$ 2. При $k = 1$: $$ w_1 = 2(\cos \pi + i \sin \pi) = 2(-1 + 0i) = -2 $$ 3. При $k = 2$: $$ w_2 = 2 \left( \cos \frac{5\pi}{3} + i \sin \frac{5\pi}{3} \right) = 2 \left( \frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 1 - \sqrt{3}i $$ Ответ: $-2$; $1 + \sqrt{3}i$; $1 - \sqrt{3}i$. --- ### 4. Разложение на линейные множители Многочлен $P(z) = a_n(z - z_1)(z - z_2)\dots(z - z_n)$, где $z_k$ — корни уравнения $P(z) = 0$. #### Вариант Б1: $3z^3 - 24$ Вынесем общий множитель: $3(z^3 - 8)$. Корни уравнения $z^3 = 8 = 8(\cos 0 + i \sin 0)$: $$ z_k = 2 \left( \cos \frac{2\pi k}{3} + i \sin \frac{2\pi k}{3} \right), \quad k = 0, 1, 2 $$ - $z_0 = 2(\cos 0 + i \sin 0) = 2$ - $z_1 = 2 \left( \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3} \right) = 2 \left( -\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = -1 + \sqrt{3}i$ - $z_2 = 2 \left( \cos \frac{4\pi}{3} + i \sin \frac{4\pi}{3} \right) = 2 \left( -\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = -1 - \sqrt{3}i$ Ответ: $3(z - 2)(z + 1 - \sqrt{3}i)(z + 1 + \sqrt{3}i)$. #### Вариант Б2: $2z^4 + 8$ Вынесем общий множитель: $2(z^4 + 4)$. Найдём корни уравнения $z^4 = -4$. Значения корней найдены в задании 3(b) Варианта Б1: $$ z_1 = 1 + i, \quad z_2 = -1 + i, \quad z_3 = -1 - i, \quad z_4 = 1 - i $$ Подставим корни в разложение: $$ 2(z - (1 + i))(z - (-1 + i))(z - (-1 - i))(z - (1 - i)) $$ Ответ: $2(z - 1 - i)(z + 1 - i)(z + 1 + i)(z - 1 + i)$. --- ### 5. Решение уравнений #### Вариант Б1: $z^3 + z^2 + z + 1 = 0$ Разложим левую часть на множители методом группировки: $$ z^2(z + 1) + (z + 1) = 0 $$ $$ (z + 1)(z^2 + 1) = 0 $$ Приравниваем каждый множитель к нулю: 1. $z + 1 = 0 \implies z_1 = -1$ 2. $z^2 + 1 = 0 \implies z^2 = -1 \implies z_{2,3} = \pm i$ Ответ: $z_1 = -1$, $z_2 = i$, $z_3 = -i$. #### Вариант Б2: $z^3 - z^2 + z - 1 = 0$ Разложим левую часть на множители методом группировки: $$ z^2(z - 1) + (z - 1) = 0 $$ $$ (z - 1)(z^2 + 1) = 0 $$ Приравниваем каждый множитель к нулю: 1. $z - 1 = 0 \implies z_1 = 1$ 2. $z^2 + 1 = 0 \implies z^2 = -1 \implies z_{2,3} = \pm i$ Ответ: $z_1 = 1$, $z_2 = i$, $z_3 = -i$.