ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Ершова самостоятельные и контрольные работы самостоятельные работы / С-54. вариант - А1

### 1. Представьте данное комплексное число **а) В алгебраической форме ($z = a + bi$):** * **Основное задание (Вариант А1):** $$ z = 2\sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right) $$ Значения тригонометрических функций: $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. $$ z = 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + i \cdot 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 + 2i $$ **Ответ:** $2 + 2i$. * **Дополнительное задание (Вариант А2):** $$ z = 4 \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right) $$ Значения тригонометрических функций: $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$, $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. $$ z = 4 \cdot \frac{1}{2} + i \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2 + 2\sqrt{3}i $$ **Ответ:** $2 + 2\sqrt{3}i$. --- **б) В тригонометрической форме ($z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi)$):** * **Основное задание (Вариант А1):** $$ z = 1 + \sqrt{3}i $$ Здесь $a = 1$, $b = \sqrt{3}$. 1. Найдём модуль комплексного числа: $$ r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2 $$ 2. Найдём аргумент $\varphi$: $$ \cos \varphi = \frac{a}{r} = \frac{1}{2}, \quad \sin \varphi = \frac{b}{r} = \frac{\sqrt{3}}{2} $$ Так как точка лежит в I координатной четверти ($a > 0$, $b > 0$), аргумент равен $\varphi = \frac{\pi}{3}$. $$ z = 2 \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right) $$ **Ответ:** $2 \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right)$. * **Дополнительное задание (Вариант А2):** $$ z = 2 + 2i $$ Здесь $a = 2$, $b = 2$. 1. Модуль числа: $$ r = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} $$ 2. Аргумент $\varphi$: $$ \cos \varphi = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin \varphi = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $$ Точка лежит в I четверти, следовательно, $\varphi = \frac{\pi}{4}$. $$ z = 2\sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right) $$ **Ответ:** $2\sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right)$. --- ### 2. Выполните действия При умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются: $z_1 z_2 = r_1 r_2 (\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 + \varphi_2))$. При делении модули делятся, а аргументы вычитаются: $\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} (\cos(\varphi_1 - \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 - \varphi_2))$. **а)** * **Вариант А1:** $$ 3\sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right) \cdot \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} \right) $$ Модуль произведения: $r = 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 3 \cdot 2 = 6$. Аргумент произведения: $\varphi = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi + \pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$. Получаем: $$ 6 \left( \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3} \right) = 6 \left( -\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = -3 + 3\sqrt{3}i $$ **Ответ:** $6 \left( \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3} \right) = -3 + 3\sqrt{3}i$. * **Вариант А2:** $$ \sqrt{3} \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right) \cdot \sqrt{12} \left( \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} \right) $$ Модуль произведения: $r = \sqrt{3} \cdot \sqrt{12} = \sqrt{36} = 6$. Аргумент произведения: $\varphi = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$. Получаем: $$ 6 \left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right) = 6(0 + 1i) = 6i $$ **Ответ:** $6 \left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right) = 6i$. --- **б)** * **Вариант А1:** $$ \frac{18(\cos 47^\circ + i \sin 47^\circ)}{9(\cos 17^\circ + i \sin 17^\circ)} $$ Модуль частного: $r = \frac{18}{9} = 2$. Аргумент частного: $\varphi = 47^\circ - 17^\circ = 30^\circ$. Получаем: $$ 2(\cos 30^\circ + i \sin 30^\circ) = 2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2} \right) = \sqrt{3} + i $$ **Ответ:** $2(\cos 30^\circ + i \sin 30^\circ) = \sqrt{3} + i$. * **Вариант А2:** $$ \frac{20(\cos 72^\circ + i \sin 72^\circ)}{5(\cos 12^\circ + i \sin 12^\circ)} $$ Модуль частного: $r = \frac{20}{5} = 4$. Аргумент частного: $\varphi = 72^\circ - 12^\circ = 60^\circ$. Получаем: $$ 4(\cos 60^\circ + i \sin 60^\circ) = 4 \left( \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 2 + 2\sqrt{3}i $$ **Ответ:** $4(\cos 60^\circ + i \sin 60^\circ) = 2 + 2\sqrt{3}i$. --- ### 3. Пользуясь формулой Муавра, вычислите Формула Муавра для возведения в степень: $[r(\cos \varphi + i \sin \varphi)]^n = r^n (\cos(n\varphi) + i \sin(n\varphi))$. Формула Муавра для извлечения корней: $\sqrt[n]{r(\cos \varphi + i \sin \varphi)} = \sqrt[n]{r} \left( \cos \frac{\varphi + 2\pi k}{n} + i \sin \frac{\varphi + 2\pi k}{n} \right)$, где $k = 0, 1, \dots, n-1$. **а)** * **Вариант А1: $(-1 + i)^4$** Переведём число $z = -1 + i$ в тригонометрическую форму: $r = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}$. $\cos \varphi = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin \varphi = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $\implies$ точка во II четверти, $\varphi = \frac{3\pi}{4}$. $$ z = \sqrt{2} \left( \cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4} \right) $$ Применим формулу Муавра: $$ (-1 + i)^4 = (\sqrt{2})^4 \left( \cos \left( 4 \cdot \frac{3\pi}{4} \right) + i \sin \left( 4 \cdot \frac{3\pi}{4} \right) \right) = 4 (\cos 3\pi + i \sin 3\pi) $$ Так как $\cos 3\pi = -1$, а $\sin 3\pi = 0$: $$ 4(-1 + 0i) = -4 $$ **Ответ:** $-4$. * **Вариант А2: $(-1 + \sqrt{3}i)^3$** Переведём число $z = -1 + \sqrt{3}i$ в тригонометрическую форму: $r = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2$. $\cos \varphi = -\frac{1}{2}$, $\sin \varphi = \frac{\sqrt{3}}{2}$ $\implies$ точка во II четверти, $\varphi = \frac{2\pi}{3}$. $$ z = 2 \left( \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3} \right) $$ Применим формулу Муавра: $$ (-1 + \sqrt{3}i)^3 = 2^3 \left( \cos \left( 3 \cdot \frac{2\pi}{3} \right) + i \sin \left( 3 \cdot \frac{2\pi}{3} \right) \right) = 8(\cos 2\pi + i \sin 2\pi) = 8(1 + 0i) = 8 $$ **Ответ:** $8$. --- **б)** * **Вариант А1: $\sqrt[3]{8(\cos \pi + i \sin \pi)}$** По формуле корней: $$ w_k = \sqrt[3]{8} \left( \cos \frac{\pi + 2\pi k}{3} + i \sin \frac{\pi + 2\pi k}{3} \right), \quad k \in \{0, 1, 2\} $$ 1. При $k = 0$: $$ w_0 = 2 \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right) = 2 \left( \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 1 + \sqrt{3}i $$ 2. При $k = 1$: $$ w_1 = 2 \left( \cos \frac{\pi + 2\pi}{3} + i \sin \frac{\pi + 2\pi}{3} \right) = 2(\cos \pi + i \sin \pi) = 2(-1 + 0i) = -2 $$ 3. При $k = 2$: $$ w_2 = 2 \left( \cos \frac{\pi + 4\pi}{3} + i \sin \frac{\pi + 4\pi}{3} \right) = 2 \left( \cos \frac{5\pi}{3} + i \sin \frac{5\pi}{3} \right) = 2 \left( \frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 1 - \sqrt{3}i $$ **Ответ:** $1 + \sqrt{3}i$; $-2$; $1 - \sqrt{3}i$. * **Вариант А2: $\sqrt{16 \left( \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3} \right)}$** По формуле корней: $$ w_k = \sqrt{16} \left( \cos \frac{\frac{2\pi}{3} + 2\pi k}{2} + i \sin \frac{\frac{2\pi}{3} + 2\pi k}{2} \right) = 4 \left( \cos \left( \frac{\pi}{3} + \pi k \right) + i \sin \left( \frac{\pi}{3} + \pi k \right) \right), \quad k \in \{0, 1\} $$ 1. При $k = 0$: $$ w_0 = 4 \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right) = 4 \left( \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 2 + 2\sqrt{3}i $$ 2. При $k = 1$: $$ w_1 = 4 \left( \cos \frac{4\pi}{3} + i \sin \frac{4\pi}{3} \right) = 4 \left( -\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = -2 - 2\sqrt{3}i $$ **Ответ:** $2 + 2\sqrt{3}i$; $-2 - 2\sqrt{3}i$. --- ### 4. Разложите на линейные множители * **Вариант А1: $z^4 - 16$** Используем формулу разности квадратов: $$ z^4 - 16 = (z^2 - 4)(z^2 + 4) $$ Разложим каждый множитель первой степени, учитывая, что $i^2 = -1$: $$ z^2 - 4 = (z - 2)(z + 2) $$ $$ z^2 + 4 = z^2 - (2i)^2 = (z - 2i)(z + 2i) $$ Итоговое разложение: $$ z^4 - 16 = (z - 2)(z + 2)(z - 2i)(z + 2i) $$ **Ответ:** $(z - 2)(z + 2)(z - 2i)(z + 2i)$. * **Вариант А2: $81 - z^4$** Используем формулу разности квадратов: $$ 81 - z^4 = (9 - z^2)(9 + z^2) $$ Разложим полученные множители: $$ 9 - z^2 = (3 - z)(3 + z) = -(z - 3)(z + 3) $$ $$ 9 + z^2 = z^2 - (3i)^2 = (z - 3i)(z + 3i) $$ Итоговое разложение: $$ 81 - z^4 = -(z - 3)(z + 3)(z - 3i)(z + 3i) $$ **Ответ:** $-(z - 3)(z + 3)(z - 3i)(z + 3i)$ или $(3 - z)(3 + z)(z - 3i)(z + 3i)$. --- ### 5. Найдите все корни уравнения * **Вариант А1: $4z^2 + 8i = 0$** Разделим обе части уравнения на $4$: $$ z^2 + 2i = 0 \iff z^2 = -2i $$ Запишем число $-2i$ в тригонометрической форме: $$ |-2i| = 2, \quad \arg(-2i) = -\frac{\pi}{2} $$ $$ -2i = 2 \left( \cos \left( -\frac{\pi}{2} \right) + i \sin \left( -\frac{\pi}{2} \right) \right) $$ Найдём корни по формуле Муавра: $$ z_k = \sqrt{2} \left( \cos \frac{-\frac{\pi}{2} + 2\pi k}{2} + i \sin \frac{-\frac{\pi}{2} + 2\pi k}{2} \right), \quad k \in \{0, 1\} $$ 1. При $k = 0$: $$ z_0 = \sqrt{2} \left( \cos \left( -\frac{\pi}{4} \right) + i \sin \left( -\frac{\pi}{4} \right) \right) = \sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} - i \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = 1 - i $$ 2. При $k = 1$: $$ z_1 = \sqrt{2} \left( \cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4} \right) = \sqrt{2} \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = -1 + i $$ **Ответ:** $z_1 = 1 - i$, $z_2 = -1 + i$. * **Вариант А2: $3z^3 - 24 = 0$** Разделим уравнение на $3$: $$ z^3 - 8 = 0 \iff z^3 = 8 $$ Запишем число $8$ в тригонометрической форме: $$ 8 = 8(\cos 0 + i \sin 0) $$ Найдём корни по формуле Муавра: $$ z_k = \sqrt[3]{8} \left( \cos \frac{0 + 2\pi k}{3} + i \sin \frac{0 + 2\pi k}{3} \right) = 2 \left( \cos \frac{2\pi k}{3} + i \sin \frac{2\pi k}{3} \right), \quad k \in \{0, 1, 2\} $$ 1. При $k = 0$: $$ z_0 = 2(\cos 0 + i \sin 0) = 2 $$ 2. При $k = 1$: $$ z_1 = 2 \left( \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3} \right) = 2 \left( -\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = -1 + \sqrt{3}i $$ 3. При $k = 2$: $$ z_2 = 2 \left( \cos \frac{4\pi}{3} + i \sin \frac{4\pi}{3} \right) = 2 \left( -\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = -1 - \sqrt{3}i $$ **Ответ:** $z_1 = 2$, $z_2 = -1 + \sqrt{3}i$, $z_3 = -1 - \sqrt{3}i$.