ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Ершова самостоятельные и контрольные работы самостоятельные работы / С-41 - Уровень В
Авторы: Ершова А.П., Голобородько В.В.
Издательство: Илекса
Тип книги: Самостоятельные и контрольные работы
Год: 2016
Подробное решение самостоятельные работы / С-41 № Уровень В по алгебре самостоятельные и контрольные работы для учащихся 10‐11 класса , авторов Ершова, Голобородько 2016
ИИ-решебник / самостоятельные работы / С-41 / Уровень В
Ответ подготовлен нейросетью и может содержать ошибки
Объяснение и пошаговое решение
### 1)
$$
y = 3x^4 - 4x^3 + 2
$$
Используем правила дифференцирования суммы и степенной функции:
$$
y' = (3x^4)' - (4x^3)' + (2)' = 3 \cdot 4x^3 - 4 \cdot 3x^2 + 0 = 12x^3 - 12x^2 = 12x^2(x - 1)
$$
**Ответ:** $y' = 12x^2(x - 1)$.
---
### 2)
$$
y = (x^2 - 1)^3
$$
Применяем правило дифференцирования сложной функции $(u^n)' = n u^{n-1} \cdot u'$:
$$
y' = 3(x^2 - 1)^2 \cdot (x^2 - 1)' = 3(x^2 - 1)^2 \cdot 2x = 6x(x^2 - 1)^2
$$
**Ответ:** $y' = 6x(x^2 - 1)^2$.
---
### 3)
$$
y = x^2 - \frac{2}{x}
$$
Представим функцию в виде степеней: $y = x^2 - 2x^{-1}$.
Находим производную:
$$
y' = (x^2)' - 2(x^{-1})' = 2x - 2 \cdot (-1)x^{-2} = 2x + \frac{2}{x^2} = \frac{2x^3 + 2}{x^2} = \frac{2(x^3 + 1)}{x^2}
$$
**Ответ:** $y' = \frac{2(x^3 + 1)}{x^2}$.
---
### 4)
$$
y = \frac{x^3 + 1}{x^2}
$$
Разделим числитель почленно на знаменатель:
$$
y = \frac{x^3}{x^2} + \frac{1}{x^2} = x + x^{-2}
$$
Находим производную:
$$
y' = (x)' + (x^{-2})' = 1 - 2x^{-3} = 1 - \frac{2}{x^3} = \frac{x^3 - 2}{x^3}
$$
**Ответ:** $y' = \frac{x^3 - 2}{x^3}$.
---
### 5)
$$
y = \frac{7x}{2x^2 - 3x - 2}
$$
Применяем формулу производной частного $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:
$$
y' = \frac{(7x)'(2x^2 - 3x - 2) - 7x(2x^2 - 3x - 2)'}{(2x^2 - 3x - 2)^2}
$$
$$
y' = \frac{7(2x^2 - 3x - 2) - 7x(4x - 3)}{(2x^2 - 3x - 2)^2} = \frac{14x^2 - 21x - 14 - 28x^2 + 21x}{(2x^2 - 3x - 2)^2}
$$
$$
y' = \frac{-14x^2 - 14}{(2x^2 - 3x - 2)^2} = -\frac{14(x^2 + 1)}{(2x^2 - 3x - 2)^2}
$$
**Ответ:** $y' = -\frac{14(x^2 + 1)}{(2x^2 - 3x - 2)^2}$.
---
### 6)
$$
y = \frac{16}{x^3 - 4x}
$$
Запишем функцию в виде $y = 16(x^3 - 4x)^{-1}$ и применим правило сложной функции:
$$
y' = 16 \cdot (-1)(x^3 - 4x)^{-2} \cdot (x^3 - 4x)' = -\frac{16(3x^2 - 4)}{(x^3 - 4x)^2}
$$
**Ответ:** $y' = -\frac{16(3x^2 - 4)}{(x^3 - 4x)^2}$.
---
### 7)
$$
y = \frac{1 - x}{(x - 2)^3}
$$
По формуле производной дроби:
$$
y' = \frac{(1 - x)' \cdot (x - 2)^3 - (1 - x) \cdot \left((x - 2)^3\right)'}{\left((x - 2)^3\right)^2}
$$
$$
y' = \frac{-1 \cdot (x - 2)^3 - (1 - x) \cdot 3(x - 2)^2}{(x - 2)^6}
$$
Вынесем общий множитель $(x - 2)^2$ в числителе и сократим дробь:
$$
y' = \frac{(x - 2)^2 \cdot [-(x - 2) - 3(1 - x)]}{(x - 2)^6} = \frac{-x + 2 - 3 + 3x}{(x - 2)^4} = \frac{2x - 1}{(x - 2)^4}
$$
**Ответ:** $y' = \frac{2x - 1}{(x - 2)^4}$.
---
### 8)
$$
y = x^2 \sqrt{x + 1}
$$
Применяем правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$:
$$
y' = (x^2)' \cdot \sqrt{x + 1} + x^2 \cdot (\sqrt{x + 1})'
$$
$$
y' = 2x\sqrt{x + 1} + x^2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x + 1}}
$$
Приведем слагаемые к общему знаменателю:
$$
y' = \frac{2x \cdot 2(x + 1) + x^2}{2\sqrt{x + 1}} = \frac{4x^2 + 4x + x^2}{2\sqrt{x + 1}} = \frac{5x^2 + 4x}{2\sqrt{x + 1}} = \frac{x(5x + 4)}{2\sqrt{x + 1}}
$$
**Ответ:** $y' = \frac{x(5x + 4)}{2\sqrt{x + 1}}$.
---
### 9)
$$
y = \frac{2x + 1}{\sqrt{x - 1}}
$$
Используем формулу производной частного:
$$
y' = \frac{(2x + 1)' \cdot \sqrt{x - 1} - (2x + 1) \cdot (\sqrt{x - 1})'}{(\sqrt{x - 1})^2}
$$
$$
y' = \frac{2\sqrt{x - 1} - (2x + 1) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x - 1}}}{x - 1}
$$
Приведем числитель к общему знаменателю:
$$
y' = \frac{\frac{4(x - 1) - (2x + 1)}{2\sqrt{x - 1}}}{x - 1} = \frac{4x - 4 - 2x - 1}{2(x - 1)\sqrt{x - 1}} = \frac{2x - 5}{2\sqrt{(x - 1)^3}}
$$
**Ответ:** $y' = \frac{2x - 5}{2\sqrt{(x - 1)^3}}$.
---
### 10)
$$
y = \frac{x^3}{x^2 - 4}
$$
По формуле дифференцирования дроби:
$$
y' = \frac{(x^3)'(x^2 - 4) - x^3(x^2 - 4)'}{(x^2 - 4)^2}
$$
$$
y' = \frac{3x^2(x^2 - 4) - x^3 \cdot 2x}{(x^2 - 4)^2} = \frac{3x^4 - 12x^2 - 2x^4}{(x^2 - 4)^2} = \frac{x^4 - 12x^2}{(x^2 - 4)^2} = \frac{x^2(x^2 - 12)}{(x^2 - 4)^2}
$$
**Ответ:** $y' = \frac{x^2(x^2 - 12)}{(x^2 - 4)^2}$.
---
### 11)
$$
y = 2 \sin x - \cos 2x
$$
Используем табличные производные тригонометрических функций и правило дифференцирования сложного аргумента:
$$
y' = 2(\sin x)' - (\cos 2x)' = 2\cos x - (-\sin 2x) \cdot (2x)' = 2\cos x + 2\sin 2x
$$
Вынесем общий множитель и применим формулу синуса двойного угла:
$$
y' = 2(\cos x + 2\sin x \cos x) = 2\cos x(1 + 2\sin x)
$$
**Ответ:** $y' = 2\cos x(1 + 2\sin x)$ или $y' = 2\cos x + 2\sin 2x$.
---
### 12)
$$
y = \sin x - \cos x + x
$$
Находим производную от каждого слагаемого:
$$
y' = (\sin x)' - (\cos x)' + (x)' = \cos x - (-\sin x) + 1 = \cos x + \sin x + 1
$$
**Ответ:** $y' = \cos x + \sin x + 1$.
Оцени решение:
Спасибо за оценку!
