ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Ершова самостоятельные и контрольные работы самостоятельные работы / С-40. вариант - 2

### 1. Исследование функций на выпуклость #### а) $f(x) = 3x^4 - 8x^3 + 6x^2 - 5x + 3$ 1. Область определения функции: $D(f) = \mathbb{R}$. 2. Найдём первую и вторую производные: $$f'(x) = 12x^3 - 24x^2 + 12x - 5$$ $$f''(x) = 36x^2 - 48x + 12 = 12(3x^2 - 4x + 1)$$ 3. Найдём нули второй производной: $$3x^2 - 4x + 1 = 0 \implies x_1 = \frac{1}{3}, \quad x_2 = 1$$ 4. Определим знаки $f''(x)$ на интервалах: - на промежутке $\left(-\infty; \frac{1}{3}\right)$: $f''(x) > 0$ — график выпуклый вниз; - на промежутке $\left(\frac{1}{3}; 1\right)$: $f''(x) < 0$ — график выпуклый вверх; - на промежутке $(1; +\infty)$: $f''(x) > 0$ — график выпуклый вниз. Точки перегиба: $x = \frac{1}{3}$ и $x = 1$. **Ответ:** функция выпукла вниз на $\left(-\infty; \frac{1}{3}\right]$ и $[1; +\infty)$; выпукла вверх на $\left[\frac{1}{3}; 1\right]$; точки перегиба: $x = \frac{1}{3}$, $x = 1$. --- #### б) $f(x) = 2x^6 - 5x^4$ 1. Область определения функции: $D(f) = \mathbb{R}$. 2. Найдём производные: $$f'(x) = 12x^5 - 20x^3$$ $$f''(x) = 60x^4 - 60x^2 = 60x^2(x^2 - 1) = 60x^2(x - 1)(x + 1)$$ 3. Приравняем $f''(x)$ к нулю: $$60x^2(x - 1)(x + 1) = 0 \implies x_1 = -1, \quad x_2 = 0, \quad x_3 = 1$$ 4. Определим знаки $f''(x)$ методом интервалов (учитывая, что при переходе через $x = 0$ знак не меняется, так как множитель $x^2 \ge 0$): - на $(-\infty; -1)$: $f''(x) > 0$ — график выпуклый вниз; - на $(-1; 0)$: $f''(x) < 0$ — график выпуклый вверх; - на $(0; 1)$: $f''(x) < 0$ — график выпуклый вверх; - на $(1; +\infty)$: $f''(x) > 0$ — график выпуклый вниз. При переходе через $x = -1$ и $x = 1$ знак второй производной меняется, а при переходе через $x = 0$ — не меняется. **Ответ:** функция выпукла вниз на $(-\infty; -1]$ и $[1; +\infty)$; выпукла вверх на $[-1; 1]$; точки перегиба: $x = -1$, $x = 1$. --- #### в) $f(x) = \cos 2x + x^2$ 1. Область определения: $D(f) = \mathbb{R}$. 2. Найдём производные: $$f'(x) = -2\sin 2x + 2x$$ $$f''(x) = -4\cos 2x + 2 = 2(1 - 2\cos 2x)$$ 3. Найдём нули второй производной: $$1 - 2\cos 2x = 0 \iff \cos 2x = \frac{1}{2} \iff 2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k \iff x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ 4. Исследуем знак второй производной: - $f''(x) > 0 \iff \cos 2x < \frac{1}{2} \iff 2x \in \left(\frac{\pi}{3} + 2\pi k; \frac{5\pi}{3} + 2\pi k\right) \iff x \in \left(\frac{\pi}{6} + \pi k; \frac{5\pi}{6} + \pi k\right)$, $k \in \mathbb{Z}$ — выпукла вниз; - $f''(x) < 0 \iff \cos 2x > \frac{1}{2} \iff 2x \in \left(-\frac{\pi}{3} + 2\pi k; \frac{\pi}{3} + 2\pi k\right) \iff x \in \left(-\frac{\pi}{6} + \pi k; \frac{\pi}{6} + \pi k\right)$, $k \in \mathbb{Z}$ — выпукла вверх. **Ответ:** функция выпукла вниз на промежутках $\left[\frac{\pi}{6} + \pi k; \frac{5\pi}{6} + \pi k\right]$, $k \in \mathbb{Z}$; выпукла вверх на промежутках $\left[-\frac{\pi}{6} + \pi k; \frac{\pi}{6} + \pi k\right]$, $k \in \mathbb{Z}$; точки перегиба: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. --- ### 2. Нахождение параметра $a$ Дана функция $g(x) = ax^3 - 6x^2$ и точка $x_0 = 1$. 1. Необходимое условие точки перегиба: $g''(x_0) = 0$. Найдём производные: $$g'(x) = 3ax^2 - 12x$$ $$g''(x) = 6ax - 12$$ 2. Подставим точку $x_0 = 1$: $$g''(1) = 6a \cdot 1 - 12 = 0 \implies 6a = 12 \implies a = 2$$ 3. Проверим достаточное условие: При $a = 2$ вторая производная равна $g''(x) = 12x - 12 = 12(x - 1)$. - При $x < 1$: $g''(x) < 0$; - При $x > 1$: $g''(x) > 0$. При переходе через точку $x_0 = 1$ вторая производная меняет знак, следовательно, $x_0 = 1$ является точкой перегиба. **Ответ:** $a = 2$. --- ### 3. Схематическое поведение графиков в окрестности точек разрыва и примеры функций #### а) $x_0 = 3$, $\lim_{x \to 3+0} f(x) = \lim_{x \to 3-0} f(x) = 6$ - **Тип разрыва:** устранимый разрыв I рода. Пределы слева и справа равны, но либо значение функции в точке не определено, либо $f(3) \neq 6$. - **Схема графика:** непрерывная линия, проходящая через окрестность точки $(3; 6)$, с выколотой точкой $(3; 6)$ (или значением в этой точке, смещённым по вертикали). - **Пример функции:** $$f(x) = \frac{6(x - 3)}{x - 3}$$ --- #### б) $x_0 = 2$, $\lim_{x \to 2-0} f(x) = 1$, $\lim_{x \to 2+0} f(x) = -1$ - **Тип разрыва:** конечный разрыв I рода (скачок). Пределы слева и справа конечны, но не равны между собой. - **Схема графика:** слева график подходит к выколотой (или закрашенной) точке $(2; 1)$, а справа начинается от точки $(2; -1)$. - **Пример функции:** $$f(x) = \begin{cases} 1, & \text{если } x < 2, \\ -1, & \text{если } x \geq 2 \end{cases}$$ --- #### в) $x_0 = 0$, $\lim_{x \to 0-0} f(x) = 0$, $\lim_{x \to 0+0} f(x) = +\infty$ - **Тип разрыва:** разрыв II рода. Правосторонний предел бесконечен. - **Схема графика:** слева при $x \to 0-0$ ветвь графика подходит к началу координат $(0; 0)$; справа при $x \to 0+0$ график функции асимптотически уходит вверх вдоль оси ординат в $+\infty$. - **Пример функции:** $$f(x) = \begin{cases} 0, & \text{если } x \leq 0, \\ \frac{1}{x}, & \text{если } x > 0 \end{cases}$$ --- #### г) $x_0 = -2$, $\lim_{x \to -2-0} f(x) = -\infty$, $\lim_{x \to -2+0} f(x) = +\infty$ - **Тип разрыва:** разрыв II рода. Прямая $x = -2$ является вертикальной асимптотой. - **Схема графика:** при приближении к прямой $x = -2$ слева ветвь графика уходит бесконечно вниз ($-\infty$), а справа — бесконечно вверх ($+\infty$). - **Пример функции:** $$f(x) = \frac{1}{x + 2}$$ --- ### 4. Выбор функций, имеющих вертикальные асимптоты Прямая $x = x_0$ является вертикальной асимптотой, если хотя бы один из односторонних пределов $\lim_{x \to x_0-0} y$ или $\lim_{x \to x_0+0} y$ равен $+\infty$ или $-\infty$. 1) $y = \frac{x^2 - 2x}{x^2 - 4}$ Область определения: $x^2 - 4 \neq 0 \iff x \neq \pm 2$. Преобразуем выражение: $$y = \frac{x(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{x}{x + 2} \quad (x \neq 2)$$ - В точке $x = 2$: $\lim_{x \to 2} \frac{x}{x + 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \neq \infty$ (устранимый разрыв). - В точке $x = -2$: $\lim_{x \to -2+0} \frac{x}{x + 2} = \frac{-2}{+0} = -\infty$; $\lim_{x \to -2-0} \frac{x}{x + 2} = \frac{-2}{-0} = +\infty$. Пределы бесконечны, следовательно, $x = -2$ — вертикальная асимптота. Функция **имеет** вертикальную асимптоту. 2) $y = \begin{cases} 2x^2 - 7, & \text{если } x \leq 2, \\ \frac{1}{x - 2}, & \text{если } x > 2 \end{cases}$ Исследуем точку стыка $x = 2$: - $\lim_{x \to 2-0} y = \lim_{x \to 2-0} (2x^2 - 7) = 2 \cdot 4 - 7 = 1$; - $\lim_{x \to 2+0} y = \lim_{x \to 2+0} \frac{1}{x - 2} = \frac{1}{+0} = +\infty$. Правосторонний предел бесконечен, следовательно, $x = 2$ — вертикальная асимптота. Функция **имеет** вертикальную асимптоту. 3) $y = \frac{x^2 - 2x - 3}{x - 3}$ Область определения: $x \neq 3$. Разложим числитель на множители: $$x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1)$$ Тогда при $x \neq 3$: $$y = \frac{(x - 3)(x + 1)}{x - 3} = x + 1$$ Найдём предел при $x \to 3$: $$\lim_{x \to 3} y = \lim_{x \to 3} (x + 1) = 4 \neq \infty$$ Точка $x = 3$ — устранимый разрыв. Вертикальных асимптот **нет**. 4) $y = \begin{cases} 2x + 2, & \text{если } x \leq -1, \\ \frac{1}{x + 2}, & \text{если } x > -1 \end{cases}$ При $x > -1$ знаменатель $x + 2 > 1 > 0$, поэтому знаменатель в ноль не обращается. Проверим точку стыка $x = -1$: - $\lim_{x \to -1-0} (2x + 2) = 0$; - $\lim_{x \to -1+0} \frac{1}{x + 2} = \frac{1}{-1 + 2} = 1$. Оба предела конечны. Вертикальных асимптот **нет**. **Ответ:** вертикальные асимптоты имеют функции под номерами 1) и 2). --- ### 5. Исследование функций на наличие асимптот #### а) $f(x) = \frac{4x^3}{2x^2 + 1}$ 1. **Вертикальные асимптоты:** Знаменатель $2x^2 + 1 \geq 1 > 0$ при всех $x \in \mathbb{R}$. Функция определена и непрерывна на всей числовой оси, вертикальных асимптот нет. 2. **Наклонные асимптоты $y = kx + b$:** Выделим целую часть дроби: $$\frac{4x^3}{2x^2 + 1} = \frac{2x(2x^2 + 1) - 2x}{2x^2 + 1} = 2x - \frac{2x}{2x^2 + 1}$$ Найдём предел разности функции и прямой $y = 2x$: $$\lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - 2x) = \lim_{x \to \pm\infty} \left(-\frac{2x}{2x^2 + 1}\right) = 0$$ Следовательно, прямая $y = 2x$ — наклонная асимптота при $x \to \pm\infty$. **Ответ:** наклонная асимптота $y = 2x$. --- #### б) $f(x) = \frac{x^2}{\sqrt{x^4 + 4}}$ 1. **Вертикальные асимптоты:** Подкоренное выражение $x^4 + 4 > 0$ при всех $x \in \mathbb{R}$, знаменатель не равен нулю. Вертикальных асимптот нет. 2. **Горизонтальные асимптоты:** Вычислим пределы функции на бесконечности: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2}{\sqrt{x^4 + 4}} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2}{x^2 \sqrt{1 + \frac{4}{x^4}}} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{4}{x^4}}} = 1$$ Следовательно, прямая $y = 1$ — горизонтальная асимптота при $x \to +\infty$ и $x \to -\infty$. **Ответ:** горизонтальная асимптота $y = 1$. --- #### в) $f(x) = \frac{2x}{x^2 + x - 6}$ 1. **Вертикальные асимптоты:** Знаменатель обращается в ноль: $$x^2 + x - 6 = 0 \iff (x + 3)(x - 2) = 0 \implies x_1 = -3, \quad x_2 = 2$$ Числитель в этих точках отличен от нуля: $2 \cdot (-3) = -6 \neq 0$ и $2 \cdot 2 = 4 \neq 0$. Поэтому: $$\lim_{x \to -3} f(x) = \infty, \quad \lim_{x \to 2} f(x) = \infty$$ Следовательно, прямые $x = -3$ и $x = 2$ — вертикальные асимптоты. 2. **Горизонтальные асимптоты:** $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x}{x^2 + x - 6} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{\frac{2}{x}}{1 + \frac{1}{x} - \frac{6}{x^2}} = 0$$ Следовательно, прямая $y = 0$ — горизонтальная асимптота при $x \to \pm\infty$. **Ответ:** вертикальные асимптоты $x = -3$ и $x = 2$; горизонтальная асимптота $y = 0$. --- #### г) $f(x) = \frac{x + 3}{\sqrt{x - 1}}$ 1. **Область определения:** $x - 1 > 0 \iff x \in (1; +\infty)$. 2. **Вертикальные асимптоты:** Исследуем точку $x = 1$ справа: $$\lim_{x \to 1+0} \frac{x + 3}{\sqrt{x - 1}} = \frac{4}{+0} = +\infty$$ Следовательно, прямая $x = 1$ — вертикальная асимптота. 3. **Наклонные асимптоты $y = kx + b$ при $x \to +\infty$:** $$k = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x + 3}{x\sqrt{x - 1}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1 + \frac{3}{x}}{\sqrt{x - 1}} = 0$$ $$b = \lim_{x \to +\infty} (f(x) - 0 \cdot x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{x + 3}{\sqrt{x - 1}} = +\infty$$ Так как предел $b$ не является конечным числом, наклонных (и горизонтальных) асимптот нет. **Ответ:** вертикальная асимптота $x = 1$. --- #### д) $f(x) = \frac{x^3}{x^2 - 4}$ 1. **Вертикальные асимптоты:** Знаменатель равен нулю при: $$x^2 - 4 = 0 \implies x = \pm 2$$ Числитель в этих точках равен $(\pm 2)^3 = \pm 8 \neq 0$. Поэтому пределы функции при $x \to 2$ и $x \to -2$ бесконечны: $$\lim_{x \to 2} f(x) = \infty, \quad \lim_{x \to -2} f(x) = \infty$$ Следовательно, прямые $x = -2$ и $x = 2$ — вертикальные асимптоты. 2. **Наклонные асимптоты $y = kx + b$:** Выделим целую часть дроби: $$\frac{x^3}{x^2 - 4} = \frac{x(x^2 - 4) + 4x}{x^2 - 4} = x + \frac{4x}{x^2 - 4}$$ Найдём предел разности функции и прямой $y = x$: $$\lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - x) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{4x}{x^2 - 4} = 0$$ Следовательно, прямая $y = x$ — наклонная асимптота при $x \to \pm\infty$. **Ответ:** вертикальные асимптоты $x = -2$ и $x = 2$; наклонная асимптота $y = x$.