ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Ершова самостоятельные и контрольные работы самостоятельные работы / С-32. вариант - В1

**1** **а)** Решим неравенство: $$ \log_{\frac{1}{2}} \log_5 (x^2 - 4) > 0 $$ Область допустимых значений (ОДЗ): $$ \begin{cases} x^2 - 4 > 0 \\ \log_5 (x^2 - 4) > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x^2 > 4 \\ x^2 - 4 > 1 \end{cases} \iff x^2 > 5 \iff |x| > \sqrt{5} $$ То есть $x \in (-\infty; -\sqrt{5}) \cup (\sqrt{5}; +\infty)$. Так как основание внешнего логарифма $\frac{1}{2} \in (0; 1)$, при потенцировании знак неравенства меняется на противоположный: $$ \log_5 (x^2 - 4) < \left(\frac{1}{2}\right)^0 $$ $$ \log_5 (x^2 - 4) < 1 $$ Учитывая условие ОДЗ $\log_5 (x^2 - 4) > 0$, получаем двойное неравенство: $$ 0 < \log_5 (x^2 - 4) < 1 $$ Так как основание логарифма $5 > 1$, функция возрастает: $$ 5^0 < x^2 - 4 < 5^1 $$ $$ 1 < x^2 - 4 < 5 $$ $$ 5 < x^2 < 9 $$ Данное двойное неравенство равносильно системе: $$ \begin{cases} x^2 > 5 \\ x^2 < 9 \end{cases} \iff \begin{cases} x \in (-\infty; -\sqrt{5}) \cup (\sqrt{5}; +\infty) \\ x \in (-3; 3) \end{cases} $$ Пересекая полученные промежутки, находим: $$ x \in (-3; -\sqrt{5}) \cup (\sqrt{5}; 3) $$ Все полученные значения входят в ОДЗ. Ответ: $x \in (-3; -\sqrt{5}) \cup (\sqrt{5}; 3)$. --- **б)** Решим неравенство: $$ 2 \log_2 (x - 2) + \log_{0,5} (x - 3) > 2 $$ ОДЗ: $$ \begin{cases} x - 2 > 0 \\ x - 3 > 0 \end{cases} \iff x > 3 $$ Преобразуем основание второго логарифма, учитывая, что $0,5 = 2^{-1}$: $$ \log_{0,5} (x - 3) = \log_{2^{-1}} (x - 3) = -\log_2 (x - 3) $$ Подставим в неравенство: $$ 2 \log_2 (x - 2) - \log_2 (x - 3) > 2 $$ $$ \log_2 (x - 2)^2 - \log_2 (x - 3) > \log_2 4 $$ $$ \log_2 \frac{(x - 2)^2}{x - 3} > \log_2 4 $$ Так как основание $2 > 1$, получаем: $$ \frac{(x - 2)^2}{x - 3} > 4 $$ На ОДЗ знаменатель $x - 3 > 0$, поэтому умножим обе части неравенства на $(x - 3)$: $$ (x - 2)^2 > 4(x - 3) $$ $$ x^2 - 4x + 4 > 4x - 12 $$ $$ x^2 - 8x + 16 > 0 $$ $$ (x - 4)^2 > 0 $$ Квадрат выражения строго положителен при всех значениях $x$, кроме точки, где он равен нулю: $x \neq 4$. С учетом ОДЗ ($x > 3$) получаем: $$ x \in (3; 4) \cup (4; +\infty) $$ Ответ: $x \in (3; 4) \cup (4; +\infty)$. --- **в)** Решим неравенство: $$ \log_{\frac{1}{3}} x \geq \log_x 3 - 2,5 $$ ОДЗ: $$ \begin{cases} x > 0 \\ x \neq 1 \end{cases} $$ Перейдем к основанию $3$: $$ \log_{\frac{1}{3}} x = -\log_3 x, \quad \log_x 3 = \frac{1}{\log_3 x} $$ Пусть $t = \log_3 x$, причем $t \neq 0$ (так как $x \neq 1$). Неравенство принимает вид: $$ -t \geq \frac{1}{t} - \frac{5}{2} $$ $$ -t - \frac{1}{t} + \frac{5}{2} \geq 0 $$ Умножим обе части на $-2$, изменив знак неравенства: $$ 2t + \frac{2}{t} - 5 \leq 0 $$ $$ \frac{2t^2 - 5t + 2}{t} \leq 0 $$ Разложим числитель на множители. Корни уравнения $2t^2 - 5t + 2 = 0$: $$ D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 $$ $$ t_1 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{1}{2}, \quad t_2 = \frac{5 + 3}{4} = 2 $$ Тогда неравенство запишется в виде: $$ \frac{2\left(t - \frac{1}{2}\right)(t - 2)}{t} \leq 0 $$ Решим неравенство методом интервалов относительно $t$: - Наносим на числовую прямую нули числителя: $t = 0,5$ (закрашенная), $t = 2$ (закрашенная); - Наносим ноль знаменателя: $t = 0$ (выколотая). Знаки дроби на интервалах: - при $t \in (2; +\infty)$: $+$ - при $t \in [0,5; 2]$: $-$ - при $t \in (0; 0,5]$: $+$ - при $t \in (-\infty; 0)$: $-$ Следовательно: $$ t < 0 \quad \text{или} \quad 0,5 \leq t \leq 2 $$ Вернемся к переменной $x$: 1) При $t < 0$: $$ \log_3 x < 0 \iff 0 < x < 3^0 \iff 0 < x < 1 $$ 2) При $0,5 \leq t \leq 2$: $$ 0,5 \leq \log_3 x \leq 2 \iff 3^{0,5} \leq x \leq 3^2 \iff \sqrt{3} \leq x \leq 9 $$ Объединяя решения, получаем: $$ x \in (0; 1) \cup [\sqrt{3}; 9] $$ Ответ: $x \in (0; 1) \cup [\sqrt{3}; 9]$. --- **2** Найдем область определения функции: $$ y = \lg \left( \frac{\log_2 x^2}{\lg(x + 3)} \right) $$ Функция определена при выполнении следующих условий: 1) Аргумент внешнего десятичного логарифма строго положителен: $$ \frac{\log_2 x^2}{\lg(x + 3)} > 0 $$ 2) Аргумент логарифма в числителе: $x^2 > 0 \iff x \neq 0$; 3) Аргумент логарифма в знаменателе: $x + 3 > 0 \iff x > -3$; 4) Знаменатель дроби не равен нулю: $\lg(x + 3) \neq 0 \iff x + 3 \neq 1 \iff x \neq -2$. Определим знаки числителя и знаменателя на области $x > -3$, $x \neq -2$, $x \neq 0$: 1) Числитель $\log_2 x^2$: - $\log_2 x^2 = 0 \iff x^2 = 1 \iff x = \pm 1$; - $\log_2 x^2 > 0 \iff x^2 > 1 \iff x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$; - $\log_2 x^2 < 0 \iff 0 < x^2 < 1 \iff x \in (-1; 0) \cup (0; 1)$. 2) Знаменатель $\lg(x + 3)$: - $\lg(x + 3) = 0 \iff x + 3 = 1 \iff x = -2$; - $\lg(x + 3) > 0 \iff x + 3 > 1 \iff x > -2$; - $\lg(x + 3) < 0 \iff 0 < x + 3 < 1 \iff -3 < x < -2$. Исследуем знак частного $\frac{\log_2 x^2}{\lg(x + 3)}$ методом интервалов на промежутке $x > -3$: - При $x \in (-3; -2)$: $\log_2 x^2 > 0$ (так как $x < -1$), $\lg(x + 3) < 0$. Значит, дробь меньше $0$ (не подходит). - При $x \in (-2; -1)$: $\log_2 x^2 > 0$ (так как $x < -1$), $\lg(x + 3) > 0$. Значит, дробь больше $0$ (подходит). - При $x \in (-1; 0)$: $\log_2 x^2 < 0$, $\lg(x + 3) > 0$. Значит, дробь меньше $0$ (не подходит). - При $x \in (0; 1)$: $\log_2 x^2 < 0$, $\lg(x + 3) > 0$. Значит, дробь меньше $0$ (не подходит). - При $x \in (1; +\infty)$: $\log_2 x^2 > 0$, $\lg(x + 3) > 0$. Значит, дробь больше $0$ (подходит). Таким образом, условие $\frac{\log_2 x^2}{\lg(x + 3)} > 0$ выполняется при: $$ x \in (-2; -1) \cup (1; +\infty) $$ Ответ: $D(y) = (-2; -1) \cup (1; +\infty)$.