ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Ершова самостоятельные и контрольные работы самостоятельные работы / С-32. вариант - Б2

### 1) Решите неравенство: **а)** $\log_2(x^2 - 3x) < 2$ 1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $$x^2 - 3x > 0 \iff x(x - 3) > 0 \iff x \in (-\infty; 0) \cup (3; +\infty)$$ 2. Решим неравенство. Так как основание логарифма $2 > 1$, функция $y = \log_2 t$ возрастает, и знак неравенства сохраняется: $$x^2 - 3x < 2^2$$ $$x^2 - 3x - 4 < 0$$ Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 3x - 4 = 0$ по теореме Виета: $x_1 = -1$, $x_2 = 4$. $$(x + 1)(x - 4) < 0 \iff x \in (-1; 4)$$ 3. Найдем пересечение полученного интервала с ОДЗ: $$\begin{cases} x \in (-1; 4) \\ x \in (-\infty; 0) \cup (3; +\infty) \end{cases} \iff x \in (-1; 0) \cup (3; 4)$$ Ответ: $x \in (-1; 0) \cup (3; 4)$. --- **б)** $\log_{0,3}(2x^2 - 9x + 4) \geq 2\log_{0,3}(x + 2)$ 1. Найдем ОДЗ неравенства: $$\begin{cases} 2x^2 - 9x + 4 > 0 \\ x + 2 > 0 \end{cases}$$ Решим первое неравенство: $2x^2 - 9x + 4 = 0$. $$D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 81 - 32 = 49 = 7^2$$ $$x_1 = \frac{9 - 7}{4} = 0,5; \quad x_2 = \frac{9 + 7}{4} = 4$$ $$2(x - 0,5)(x - 4) > 0 \iff x \in (-\infty; 0,5) \cup (4; +\infty)$$ Из второго неравенства: $x > -2$. Пересекая условия, получаем ОДЗ: $$x \in (-2; 0,5) \cup (4; +\infty)$$ 2. Преобразуем правую часть неравенства: $$\log_{0,3}(2x^2 - 9x + 4) \geq \log_{0,3}(x + 2)^2$$ Так как основание $0 < 0,3 < 1$, функция убывает, поэтому знак неравенства меняется на противоположный: $$2x^2 - 9x + 4 \leq (x + 2)^2$$ $$2x^2 - 9x + 4 \leq x^2 + 4x + 4$$ $$x^2 - 13x \leq 0$$ $$x(x - 13) \leq 0 \iff x \in [0; 13]$$ 3. Пересечем решение с ОДЗ: $$\begin{cases} x \in [0; 13] \\ x \in (-2; 0,5) \cup (4; +\infty) \end{cases} \iff x \in [0; 0,5) \cup (4; 13]$$ Ответ: $x \in [0; 0,5) \cup (4; 13]$. --- **в)** $\log_3^2 x - \log_3 x - 2 > 0$ 1. ОДЗ: $x > 0$. 2. Введем замену переменной: пусть $t = \log_3 x$. Получаем квадратное неравенство: $$t^2 - t - 2 > 0$$ Корни уравнения $t^2 - t - 2 = 0$: $t_1 = -1$, $t_2 = 2$. $$(t + 1)(t - 2) > 0 \iff t < -1 \quad \text{или} \quad t > 2$$ 3. Вернемся к переменной $x$: - При $t < -1$: $$\log_3 x < -1 \iff \log_3 x < \log_3 3^{-1}$$ Так как основание $3 > 1$, то $x < \frac{1}{3}$. С учетом ОДЗ ($x > 0$): $$x \in \left(0; \frac{1}{3}\right)$$ - При $t > 2$: $$\log_3 x > 2 \iff \log_3 x > \log_3 3^2 \iff x > 9$$ Ответ: $x \in \left(0; \frac{1}{3}\right) \cup (9; +\infty)$. --- ### 2) Найдите область определения функции: $$y = \sqrt{(4 - x^2)\log_{\frac{1}{2}}(x + 5)}$$ 1. Функция определена, если подкоренное выражение неотрицательно, а выражение под знаком логарифма положительно: $$\begin{cases} (4 - x^2)\log_{\frac{1}{2}}(x + 5) \geq 0 \\ x + 5 > 0 \end{cases}$$ Из второго неравенства: $x > -5$. 2. Решим неравенство $(4 - x^2)\log_{\frac{1}{2}}(x + 5) \geq 0$ на промежутке $(-5; +\infty)$. Воспользуемся методом рационализации: знак выражения $\log_a f(x)$ при $f(x) > 0$ совпадает со знаком $(a - 1)(f(x) - 1)$. Для основания $a = \frac{1}{2}$ получаем: $$\left(\frac{1}{2} - 1\right)(x + 5 - 1) = -\frac{1}{2}(x + 4)$$ Следовательно, знак логарифма противоположен знаку $(x + 4)$. Исходное неравенство равносильно следующему: $$(4 - x^2) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)(x + 4) \geq 0$$ Умножим обе части на $-2$, изменив знак неравенства: $$(4 - x^2)(x + 4) \leq 0$$ $$-(x^2 - 4)(x + 4) \leq 0$$ $$(x - 2)(x + 2)(x + 4) \geq 0$$ 3. Применим метод интервалов. Нули множителей: $x = -4$, $x = -2$, $x = 2$. Расставим знаки на числовой прямой для выражения $(x - 2)(x + 2)(x + 4)$: - при $x \in (2; +\infty)$: знак $+$ - при $x \in (-2; 2)$: знак $-$ - при $x \in (-4; -2)$: знак $+$ - при $x \in (-\infty; -4)$: знак $-$ Неравенство выполняется при $x \in [-4; -2] \cup [2; +\infty)$. 4. С учетом условия $x > -5$ (все найденные точки лежат правее $-5$): $$D(y) = [-4; -2] \cup [2; +\infty)$$ Ответ: $x \in [-4; -2] \cup [2; +\infty)$. --- ### Дополнительные задания (Вариант Б2): **а)** $\log_3(x^2 + 2x) < 1$ 1. ОДЗ: $$x^2 + 2x > 0 \iff x(x + 2) > 0 \iff x \in (-\infty; -2) \cup (0; +\infty)$$ 2. Так как основание $3 > 1$, знак неравенства сохраняется: $$x^2 + 2x < 3^1$$ $$x^2 + 2x - 3 < 0$$ Корни уравнения $x^2 + 2x - 3 = 0$: $x_1 = -3$, $x_2 = 1$. $$(x + 3)(x - 1) < 0 \iff x \in (-3; 1)$$ 3. Пересечение с ОДЗ: $$\begin{cases} x \in (-3; 1) \\ x \in (-\infty; -2) \cup (0; +\infty) \end{cases} \iff x \in (-3; -2) \cup (0; 1)$$ Ответ: $x \in (-3; -2) \cup (0; 1)$. --- **б)** $\log_{0,5}(2x^2 + 3x + 1) \leq 2\log_{0,5}(x - 1)$ 1. ОДЗ: $$\begin{cases} 2x^2 + 3x + 1 > 0 \\ x - 1 > 0 \end{cases}$$ Корни $2x^2 + 3x + 1 = 0$: $x_1 = -1$, $x_2 = -0,5$, значит $x \in (-\infty; -1) \cup (-0,5; +\infty)$. Из условия $x - 1 > 0$ получаем $x > 1$. Пересечение дает ОДЗ: $x \in (1; +\infty)$. 2. Преобразуем неравенство: $$\log_{0,5}(2x^2 + 3x + 1) \leq \log_{0,5}(x - 1)^2$$ Так как основание $0 < 0,5 < 1$, знак меняется на противоположный: $$2x^2 + 3x + 1 \geq (x - 1)^2$$ $$2x^2 + 3x + 1 \geq x^2 - 2x + 1$$ $$x^2 + 5x \geq 0$$ $$x(x + 5) \geq 0 \iff x \in (-\infty; -5] \cup [0; +\infty)$$ 3. Пересечение с ОДЗ ($x > 1$): $$\begin{cases} x \in (-\infty; -5] \cup [0; +\infty) \\ x \in (1; +\infty) \end{cases} \iff x \in (1; +\infty)$$ Ответ: $x \in (1; +\infty)$. --- **в)** $\log_2^2 x + 2\log_2 x - 3 > 0$ 1. ОДЗ: $x > 0$. 2. Замена переменной: пусть $t = \log_2 x$. $$t^2 + 2t - 3 > 0$$ Корни уравнения $t^2 + 2t - 3 = 0$: $t_1 = -3$, $t_2 = 1$. $$(t + 3)(t - 1) > 0 \iff t < -3 \quad \text{или} \quad t > 1$$ 3. Возврат к переменной $x$: - При $t < -3$: $$\log_2 x < -3 \iff \log_2 x < \log_2 2^{-3} \iff 0 < x < \frac{1}{8}$$ - При $t > 1$: $$\log_2 x > 1 \iff \log_2 x > \log_2 2^1 \iff x > 2$$ Ответ: $x \in \left(0; \frac{1}{8}\right) \cup (2; +\infty)$.