ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Ершова самостоятельные и контрольные работы контрольные работы / К-3. вариант - Б1

### Вариант Б1 #### 1. Решите уравнение: **а)** $\frac{\sqrt{3}}{2} \sin 3x - \frac{1}{2} \cos 3x = -1$ Применим метод вспомогательного угла. Так как $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$, преобразуем левую часть по формуле синуса разности: $$ \sin 3x \cos \frac{\pi}{6} - \cos 3x \sin \frac{\pi}{6} = -1 $$ $$ \sin \left( 3x - \frac{\pi}{6} \right) = -1 $$ Используем частный случай решения простейшего тригонометрического уравнения: $$ 3x - \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ $$ 3x = -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k $$ $$ 3x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k $$ $$ x = -\frac{\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3}, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x = -\frac{\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}$. --- **б)** $\sin^2 x - 2 \sin 2x - 5 \cos^2 x = 0$ Распишем $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$: $$ \sin^2 x - 4 \sin x \cos x - 5 \cos^2 x = 0 $$ Данное уравнение является однородным тригонометрическим уравнением второй степени. Если $\cos x = 0$, то $\sin^2 x = 0$, что противоречит основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Значит, $\cos x \neq 0$. Разделим обе части уравнения на $\cos^2 x$: $$ \operatorname{tg}^2 x - 4 \operatorname{tg} x - 5 = 0 $$ Пусть $t = \operatorname{tg} x$, тогда: $$ t^2 - 4t - 5 = 0 $$ По теореме Виета: $t_1 = -1$, $t_2 = 5$. Возвращаемся к замене: 1) $\operatorname{tg} x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$ 2) $\operatorname{tg} x = 5 \implies x = \operatorname{arctg} 5 + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$ Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, \quad x = \operatorname{arctg} 5 + \pi n, \quad k, n \in \mathbb{Z}$. --- **в)** $1 - \cos x = \sin \frac{x}{2}$ Применим формулу понижения степени $1 - \cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2}$: $$ 2 \sin^2 \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2} = 0 $$ Вынесем общий множитель за скобки: $$ \sin \frac{x}{2} \left( 2 \sin \frac{x}{2} - 1 \right) = 0 $$ Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: 1) $\sin \frac{x}{2} = 0$ $$ \frac{x}{2} = \pi k \implies x = 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 2) $2 \sin \frac{x}{2} - 1 = 0 \implies \sin \frac{x}{2} = \frac{1}{2}$ $$ \frac{x}{2} = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n \implies x = (-1)^n \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x = 2\pi k, \quad x = (-1)^n \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad k, n \in \mathbb{Z}$. --- **г)** $\frac{\sin 2x}{1 + \sin x} = -2 \cos x$ Область допустимых значений (ОДЗ): $$ 1 + \sin x \neq 0 \implies \sin x \neq -1 \implies x \neq -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Раскроем синус двойного угла и умножим обе части на знаменатель при условии ОДЗ: $$ 2 \sin x \cos x = -2 \cos x (1 + \sin x) $$ $$ 2 \sin x \cos x + 2 \cos x + 2 \sin x \cos x = 0 $$ $$ 4 \sin x \cos x + 2 \cos x = 0 $$ $$ 2 \cos x (2 \sin x + 1) = 0 $$ 1) $\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi m, \quad m \in \mathbb{Z}$. С учетом ОДЗ исключаем точки вида $-\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $\sin x = -1$. Остаются точки: $$ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 2) $2 \sin x + 1 = 0 \implies \sin x = -\frac{1}{2}$. Значение удовлетворяет ОДЗ ($\sin x \neq -1$): $$ x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad k, n \in \mathbb{Z}$. --- #### 2. Решите неравенство: **а)** $2 \cos \left( x + \frac{\pi}{3} \right) - \sqrt{3} < 0$ $$ 2 \cos \left( x + \frac{\pi}{3} \right) < \sqrt{3} \implies \cos \left( x + \frac{\pi}{3} \right) < \frac{\sqrt{3}}{2} $$ Решим базовое неравенство для аргумента $t = x + \frac{\pi}{3}$: $$ \frac{\pi}{6} + 2\pi k < t < \frac{11\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Подставим обратно $t = x + \frac{\pi}{3}$: $$ \frac{\pi}{6} + 2\pi k < x + \frac{\pi}{3} < \frac{11\pi}{6} + 2\pi k $$ Вычтем $\frac{\pi}{3}$ из всех частей неравенства: $$ \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{11\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + 2\pi k $$ $$ -\frac{\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{3\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x \in \left( -\frac{\pi}{6} + 2\pi k; \, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k \right), \quad k \in \mathbb{Z}$. --- **б)** $\operatorname{tg} \left( \frac{\pi}{4} - 2x \right) \geq 1$ Решим неравенство для аргумента $t = \frac{\pi}{4} - 2x$: $$ \frac{\pi}{4} + \pi k \leq t < \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Подставим $t = \frac{\pi}{4} - 2x$: $$ \frac{\pi}{4} + \pi k \leq \frac{\pi}{4} - 2x < \frac{\pi}{2} + \pi k $$ Вычтем $\frac{\pi}{4}$: $$ \pi k \leq -2x < \frac{\pi}{4} + \pi k $$ Разделим все части неравенства на $-2$, изменив знаки неравенств на противоположные: $$ -\frac{\pi}{8} - \frac{\pi k}{2} < x \leq -\frac{\pi k}{2} $$ Заменив целое число $-k$ на $n \in \mathbb{Z}$, получим: $$ -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2} < x \leq \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x \in \left( -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}; \, \frac{\pi n}{2} \right], \quad n \in \mathbb{Z}$. --- #### 3. Решите систему уравнений: $$ \begin{cases} x - y = \frac{\pi}{3}, \\ \cos x \cos y = \frac{1}{2}. \end{cases} $$ Преобразуем произведение косинусов в сумму: $$ \cos x \cos y = \frac{1}{2} (\cos(x - y) + \cos(x + y)) $$ Подставим данные из системы: $$ \frac{1}{2} \left( \cos \frac{\pi}{3} + \cos(x + y) \right) = \frac{1}{2} $$ $$ \cos \frac{\pi}{3} + \cos(x + y) = 1 $$ Так как $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$: $$ \frac{1}{2} + \cos(x + y) = 1 \implies \cos(x + y) = \frac{1}{2} $$ Отсюда: $$ x + y = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Рассмотрим два случая: 1) $\begin{cases} x - y = \frac{\pi}{3}, \\ x + y = \frac{\pi}{3} + 2\pi k \end{cases}$ Сложим уравнения: $2x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{3} + \pi k$. Вычтем первое из второго: $2y = 2\pi k \implies y = \pi k$. 2) $\begin{cases} x - y = \frac{\pi}{3}, \\ x + y = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k \end{cases}$ Сложим уравнения: $2x = 2\pi k \implies x = \pi k$. Вычтем первое из второго: $2y = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k \implies y = -\frac{\pi}{3} + \pi k$. Ответ: $\left( \frac{\pi}{3} + \pi k; \, \pi k \right), \quad \left( \pi k; \, -\frac{\pi}{3} + \pi k \right), \quad k \in \mathbb{Z}$. --- --- ### Вариант Б2 #### 1. Решите уравнение: **а)** $\frac{1}{2} \cos 2x + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2x = 1$ Применим метод вспомогательного угла ($\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$, $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$): $$ \sin \left( 2x + \frac{\pi}{6} \right) = 1 $$ $$ 2x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ $$ 2x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{\pi}{3} + 2\pi k $$ $$ x = \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$. --- **б)** $\cos^2 x + \sin 2x - 3 \sin^2 x = 0$ Распишем $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$: $$ \cos^2 x + 2 \sin x \cos x - 3 \sin^2 x = 0 $$ Так как $\cos x \neq 0$ (иначе $\sin x = 0$, что невозможно одновременно), разделим обе части на $\cos^2 x$: $$ 1 + 2 \operatorname{tg} x - 3 \operatorname{tg}^2 x = 0 $$ $$ 3 \operatorname{tg}^2 x - 2 \operatorname{tg} x - 1 = 0 $$ Пусть $t = \operatorname{tg} x$: $$ 3t^2 - 2t - 1 = 0 $$ Корни уравнения: $t_1 = 1$, $t_2 = -\frac{1}{3}$. 1) $\operatorname{tg} x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$ 2) $\operatorname{tg} x = -\frac{1}{3} \implies x = -\operatorname{arctg} \frac{1}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$ Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad x = -\operatorname{arctg} \frac{1}{3} + \pi n, \quad k, n \in \mathbb{Z}$. --- **в)** $1 + \cos 4x = \cos 2x$ Используем формулу $1 + \cos 4x = 2 \cos^2 2x$: $$ 2 \cos^2 2x - \cos 2x = 0 $$ $$ \cos 2x (2 \cos 2x - 1) = 0 $$ 1) $\cos 2x = 0 \implies 2x = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$ 2) $2 \cos 2x - 1 = 0 \implies \cos 2x = \frac{1}{2} \implies 2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n \implies x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$ Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, \quad x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad k, n \in \mathbb{Z}$. --- **г)** $\frac{\sin 2x}{1 - \cos x} = 2 \sin x$ ОДЗ: $$ 1 - \cos x \neq 0 \implies \cos x \neq 1 \implies x \neq 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Умножим на знаменатель с учетом ОДЗ: $$ 2 \sin x \cos x = 2 \sin x (1 - \cos x) $$ $$ 2 \sin x \cos x = 2 \sin x - 2 \sin x \cos x $$ $$ 4 \sin x \cos x - 2 \sin x = 0 $$ $$ 2 \sin x (2 \cos x - 1) = 0 $$ 1) $\sin x = 0 \implies x = \pi m, \quad m \in \mathbb{Z}$. С учетом ОДЗ ($x \neq 2\pi k$), исключаем четные значения $\pi$: $$ x = \pi + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 2) $2 \cos x - 1 = 0 \implies \cos x = \frac{1}{2}$. Значение удовлетворяет ОДЗ: $$ x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x = \pi + 2\pi k, \quad x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad k, n \in \mathbb{Z}$. --- #### 2. Решите неравенство: **а)** $\sqrt{2} \sin \left( x - \frac{\pi}{4} \right) + 1 > 0$ $$ \sin \left( x - \frac{\pi}{4} \right) > -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} $$ Решим неравенство для $t = x - \frac{\pi}{4}$: $$ -\frac{\pi}{4} + 2\pi k < t < \frac{5\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Подставим $t = x - \frac{\pi}{4}$: $$ -\frac{\pi}{4} + 2\pi k < x - \frac{\pi}{4} < \frac{5\pi}{4} + 2\pi k $$ Прибавим $\frac{\pi}{4}$ ко всем частям: $$ 2\pi k < x < \frac{3\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x \in \left( 2\pi k; \, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k \right), \quad k \in \mathbb{Z}$. --- **б)** $\operatorname{ctg} \left( -\frac{\pi}{3} - \frac{x}{2} \right) \leq \sqrt{3}$ Решим неравенство для $t = -\frac{\pi}{3} - \frac{x}{2}$: $$ \frac{\pi}{6} + \pi k \leq t < \pi + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Подставим выражение для $t$: $$ \frac{\pi}{6} + \pi k \leq -\frac{\pi}{3} - \frac{x}{2} < \pi + \pi k $$ Прибавим $\frac{\pi}{3}$: $$ \frac{\pi}{2} + \pi k \leq -\frac{x}{2} < \frac{4\pi}{3} + \pi k $$ Умножим на $-2$, поменяв знаки неравенств: $$ -\frac{8\pi}{3} - 2\pi k < x \leq -\pi - 2\pi k $$ Заменим $-k = n + 1$, где $n \in \mathbb{Z}$: $$ -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n < x \leq \pi + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x \in \left( -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n; \, \pi + 2\pi n \right], \quad n \in \mathbb{Z}$. --- #### 3. Решите систему уравнений: $$ \begin{cases} x + y = \frac{\pi}{3}, \\ \sin x \sin y = \frac{1}{4}. \end{cases} $$ Преобразуем произведение синусов в разность косинусов: $$ \sin x \sin y = \frac{1}{2} (\cos(x - y) - \cos(x + y)) $$ Подставим значения из системы: $$ \frac{1}{2} \left( \cos(x - y) - \cos \frac{\pi}{3} \right) = \frac{1}{4} $$ $$ \cos(x - y) - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} $$ $$ \cos(x - y) = 1 $$ $$ x - y = 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Составим систему: $$ \begin{cases} x + y = \frac{\pi}{3}, \\ x - y = 2\pi k. \end{cases} $$ Сложим уравнения: $$ 2x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{6} + \pi k $$ Вычтем второе уравнение из первого: $$ 2y = \frac{\pi}{3} - 2\pi k \implies y = \frac{\pi}{6} - \pi k $$ Ответ: $\left( \frac{\pi}{6} + \pi k; \, \frac{\pi}{6} - \pi k \right), \quad k \in \mathbb{Z}$.