ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Ершова самостоятельные и контрольные работы контрольные работы / К-3. вариант - А1

### Вариант А1 #### 1. Решите уравнение: **а)** $2 \sin x = \sqrt{3}$ Разделим обе части уравнения на $2$: $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$. По формуле корней простейшего тригонометрического уравнения: $x = (-1)^k \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$ $x = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$. Ответ: $x = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$. --- **б)** $\sin x - \sqrt{3} \cos x = 0$ Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Если $\cos x = 0$, то из уравнения следует $\sin x = 0$, что противоречит основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Следовательно, $\cos x \neq 0$. Разделим обе части уравнения на $\cos x$: $$ \frac{\sin x}{\cos x} - \sqrt{3} = 0 $$ $\operatorname{tg} x - \sqrt{3} = 0$ $\operatorname{tg} x = \sqrt{3}$ $x = \operatorname{arctg} \sqrt{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$ $x = \frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$. Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$. --- **в)** $2 \sin^2 x + 3 \cos x = 0$ Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$: $$ 2(1 - \cos^2 x) + 3 \cos x = 0 $$ $2 - 2 \cos^2 x + 3 \cos x = 0$ $2 \cos^2 x - 3 \cos x - 2 = 0$. Сделаем замену переменной: пусть $t = \cos x$, где $|t| \le 1$. $$ 2t^2 - 3t - 2 = 0 $$ $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 = 5^2$ $t_1 = \frac{3 + 5}{4} = 2$ — не удовлетворяет условию $|t| \le 1$; $t_2 = \frac{3 - 5}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$. Возвращаемся к замене: $$ \cos x = -\frac{1}{2} $$ $x = \pm \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$ Так как $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \pi - \arccos\frac{1}{2} = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$, получаем: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$. Ответ: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$. --- **г)** $\frac{\sin 3x + \sin x}{\cos x} = 0$ Область допустимых значений: знаменатель не равен нулю, то есть $\cos x \neq 0$, откуда $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$. Приравняем числитель к нулю: $$ \sin 3x + \sin x = 0 $$ Применим формулу суммы синусов $\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2}$: $$ 2 \sin \frac{3x + x}{2} \cos \frac{3x - x}{2} = 0 $$ $$ 2 \sin 2x \cos x = 0 $$ С учетом ОДЗ ($\cos x \neq 0$), разделим уравнение на $\cos x$: $$ \sin 2x = 0 $$ $2x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \implies x = \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}$. Исключим значения, не входящие в ОДЗ: - при нечетных $n = 2m + 1$ получаем $x = \frac{\pi (2m+1)}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi m$, для которых $\cos x = 0$; - при четных $n = 2m$ получаем $x = \frac{\pi \cdot 2m}{2} = \pi m$, для которых $\cos(\pi m) = \pm 1 \neq 0$. Следовательно, решением уравнения являются серии при четных $n$: $x = \pi m, \quad m \in \mathbb{Z}$. Ответ: $x = \pi m, \quad m \in \mathbb{Z}$. --- #### 2. Решите неравенство: **а)** $1 - 2 \cos \frac{x}{2} > 0$ Преобразуем неравенство: $$ -2 \cos \frac{x}{2} > -1 $$ $$ \cos \frac{x}{2} < \frac{1}{2} $$ По тригонометрической окружности найдем значения аргумента $\frac{x}{2}$: $$ \frac{\pi}{3} + 2\pi k < \frac{x}{2} < \frac{5\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Умножим все части двойного неравенства на $2$: $$ \frac{2\pi}{3} + 4\pi k < x < \frac{10\pi}{3} + 4\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x \in \left(\frac{2\pi}{3} + 4\pi k; \, \frac{10\pi}{3} + 4\pi k\right), \quad k \in \mathbb{Z}$. --- **б)** $\operatorname{tg} (\pi - x) < \frac{1}{\sqrt{3}}$ По формуле приведения $\operatorname{tg}(\pi - x) = -\operatorname{tg} x$: $$ -\operatorname{tg} x < \frac{1}{\sqrt{3}} $$ $$ \operatorname{tg} x > -\frac{1}{\sqrt{3}} $$ Учитывая область определения тангенса и его свойства: $$ -\frac{\pi}{6} + \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x \in \left(-\frac{\pi}{6} + \pi k; \, \frac{\pi}{2} + \pi k\right), \quad k \in \mathbb{Z}$. --- #### 3. Решите систему уравнений: $$ \begin{cases} \sin x = \cos y, \\ 2 \cos^2 y + \sin x = 3. \end{cases} $$ Подставим первое уравнение во второе, заменив $\cos y$ на $\sin x$: $$ 2 \sin^2 x + \sin x = 3 $$ $$ 2 \sin^2 x + \sin x - 3 = 0 $$ Пусть $t = \sin x$, где $|t| \le 1$: $$ 2t^2 + t - 3 = 0 $$ $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25 = 5^2$ $t_1 = \frac{-1 + 5}{4} = 1$; $t_2 = \frac{-1 - 5}{4} = -1{,}5$ — не удовлетворяет условию $|t| \le 1$. Таким образом, $\sin x = 1$. Подставим это значение в первое уравнение системы: $$ \cos y = \sin x = 1 $$ Получаем систему простейших уравнений: $$ \begin{cases} \sin x = 1, \\ \cos y = 1. \end{cases} $$ Решим каждое из уравнений: $$ \begin{cases} x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}, \\ y = 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}. \end{cases} $$ Ответ: $\left(\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \, 2\pi n\right), \quad k, n \in \mathbb{Z}$. --- --- ### Вариант А2 #### 1. Решите уравнение: **а)** $\sqrt{2} \cos x = 1$ $\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $x = \pm \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$ $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$. Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$. --- **б)** $\sin x + \cos x = 0$ Так как при $\cos x = 0$ значение $\sin x$ не может быть равно нулю, разделим обе части на $\cos x \neq 0$: $$ \operatorname{tg} x + 1 = 0 $$ $\operatorname{tg} x = -1$ $x = \operatorname{arctg}(-1) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$ $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$. Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$. --- **в)** $2 \cos^2 x - \sin x = -1$ Используем тождество $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$: $$ 2(1 - \sin^2 x) - \sin x + 1 = 0 $$ $2 - 2 \sin^2 x - \sin x + 1 = 0$ $-2 \sin^2 x - \sin x + 3 = 0$ $2 \sin^2 x + \sin x - 3 = 0$. Пусть $t = \sin x$, где $|t| \le 1$: $$ 2t^2 + t - 3 = 0 $$ $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 = 5^2$ $t_1 = \frac{-1 + 5}{4} = 1$; $t_2 = \frac{-1 - 5}{4} = -1{,}5$ — не удовлетворяет условию $|t| \le 1$. Возвращаемся к замене: $$ \sin x = 1 $$ $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$. Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$. --- **г)** $\frac{\cos 3x - \cos x}{\sin x} = 0$ ОДЗ: $\sin x \neq 0 \implies x \neq \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$. Приравняем числитель к нулю: $$ \cos 3x - \cos x = 0 $$ Применим формулу разности косинусов $\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2}$: $$ -2 \sin \frac{3x + x}{2} \sin \frac{3x - x}{2} = 0 $$ $$ -2 \sin 2x \sin x = 0 $$ С учетом ОДЗ ($\sin x \neq 0$), разделим уравнение на $-2 \sin x$: $$ \sin 2x = 0 $$ $2x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \implies x = \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}$. Исключим значения, не входящие в ОДЗ ($x \neq \pi k$): - при четных $n = 2k$ получаем $x = \pi k$, что противоречит ОДЗ; - при нечетных $n = 2k + 1$ получаем $x = \frac{\pi (2k+1)}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k$, для которых $\sin x = \pm 1 \neq 0$. Следовательно: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$. Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$. --- #### 2. Решите неравенство: **а)** $-\sqrt{3} - 2 \sin 3x < 0$ Преобразуем неравенство: $$ -2 \sin 3x < \sqrt{3} $$ $$ \sin 3x > -\frac{\sqrt{3}}{2} $$ По тригонометрической окружности для аргумента $3x$: $$ -\frac{\pi}{3} + 2\pi k < 3x < \frac{4\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Разделим все части неравенства на $3$: $$ -\frac{\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3} < x < \frac{4\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3}, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x \in \left(-\frac{\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3}; \, \frac{4\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3}\right), \quad k \in \mathbb{Z}$. --- **б)** $\operatorname{ctg} \left( \frac{\pi}{2} + x \right) > \sqrt{3}$ По формуле приведения $\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\operatorname{tg} x$: $$ -\operatorname{tg} x > \sqrt{3} $$ $$ \operatorname{tg} x < -\sqrt{3} $$ С учетом области определения тангенса на основном периоде: $$ -\frac{\pi}{2} + \pi k < x < -\frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x \in \left(-\frac{\pi}{2} + \pi k; \, -\frac{\pi}{3} + \pi k\right), \quad k \in \mathbb{Z}$. --- #### 3. Решите систему уравнений: $$ \begin{cases} \cos x = \sin y, \\ \sin^2 y - \cos x = 2. \end{cases} $$ Подставим первое уравнение во второе, заменив $\sin y$ на $\cos x$: $$ \cos^2 x - \cos x = 2 $$ $$ \cos^2 x - \cos x - 2 = 0 $$ Пусть $t = \cos x$, где $|t| \le 1$: $$ t^2 - t - 2 = 0 $$ По теореме Виета: $t_1 = 2$ — не удовлетворяет условию $|t| \le 1$; $t_2 = -1$. Значит, $\cos x = -1$. Подставим в первое уравнение системы: $$ \sin y = \cos x = -1 $$ Получаем систему: $$ \begin{cases} \cos x = -1, \\ \sin y = -1. \end{cases} $$ Решим каждое уравнение: $$ \begin{cases} x = \pi + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}, \\ y = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}. \end{cases} $$ Ответ: $\left(\pi + 2\pi k; \, -\frac{\pi}{2} + 2\pi n\right), \quad k, n \in \mathbb{Z}$.